Álgebra clásica

El álgebra elemental , también llamada álgebra clásica es la rama de las matemáticas cuyo objeto es el estudio de operaciones algebraicas ( suma , multiplicación , resta , división y extracción de raíz ) sobre los números reales o complejos , cuyo objetivo principal es la resolución de ecuaciones polinómicas .

El calificador elemental (o clásico ) pretende diferenciarlo del álgebra general (o moderna ), que estudia estructuras algebraicas ( grupos , campos conmutativos , etc.) generalizando las nociones de número y operación . También se diferencia de la aritmética elemental por el uso de letras para representar números desconocidos .

En este sentido, el adjetivo algebraico puede, según el caso, ser sinónimo de polinomio (como en curva algebraica ) o el antónimo de aritmética .

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica está formada por números, letras y signos operativos:

el signo se usa para marcar la suma . $+$
el signo se usa para marcar la resta . $-$
los signos o se utilizan para marcar la multiplicación . Cuando la multiplicación se refiere a dos letras, es posible escribir en lugar de . $\ veces$ $\ cdot$ $ab$ $a \ veces b$
el signo se utiliza para marcar la división , que también se puede escribir . $\ div$ ${\ Displaystyle a \ div b}$ ${\ Displaystyle {\ cfrac {a} {b}}}$

Por ejemplo :

Se escribe el producto de un número aumentado por 3 por sí mismo . $X$ ${\ Displaystyle (x + 3) x}$
La diferencia de los cuadrados de dos números y se escribe $a$ $B$ ${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$

Evaluar una expresión algebraica consiste en asignar un valor a cada una de las variables y luego realizar el cálculo aritmético obtenido.

Por ejemplo, evaluar la expresión para es realizar el cálculo . ${\ Displaystyle x ^ {2} + x-1}$ ${\ Displaystyle x = 2}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {2} + 2-1}$

Propiedades de adición

La factura :

se escribe a + b ;
es conmutativa : a + b = b + a ;
es asociativo : ( a + b ) + c = a + ( b + c );
tiene una aplicación recíproca llamada resta: ( a + b ) - b = a , es equivalente a sumar un número negativo, a - b = a + (- b );
tiene un elemento neutral 0 que mantiene el número: a + 0 = a .

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación :

se escribe un × b o un • b ;
es conmutativa : a × b = b × a ;
es asociativo : ( a × b ) × c = a × ( b × c );
se abrevia por la yuxtaposición: a × b ≡ ab ;
tiene un elemento neutro 1 que mantiene el número: a × 1 = a ;
para números distintos de cero , tiene un mapa inverso llamado división: ( ab ) / b = a , es equivalente a multiplicar por su inverso , a / b = a (1 / b );
es distributivo con respecto a la suma: ( a + b ) c = ac + bc ;
tiene un elemento absorbente 0 que anula el número: a × 0 = 0.

Factoring y desarrollo

Factorizar una expresión algebraica, es transformarla en escritura como producto de dos o más expresiones ( , ...): $mi$ $A$ $B$

{\ Displaystyle E = A \ times B \ times \ cdots}

Cada una de las expresiones , ... se llama factor. $A$ $B$

Desarrollar una expresión algebraica ,, consiste en transformar la escritura en forma de suma (o diferencia) de dos o más expresiones. ( ,, ...): $mi$ $A$ $B$

{\ Displaystyle E = A + B + \ cdots}

Cada una de las expresiones , ... se llama término. $A$ $B$

Bibliografía

Obras

A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer , Una historia de las matemáticas: caminos y laberintos ,1986[ detalle de ediciones ]
Ahmed Djebbar ( pref. Bernard Maitte ), álgebra árabe, génesis de un arte , Vuibert / Adapt,2005, 214 p. ( ISBN 2711753816 )- Descripción general de los orígenes árabes de álgebra en el XV ° siglo .

Artículos de enciclopedia

(en) Yu. I. Merzlyakov y AI Shirshov , " Álgebra " , Enciclopedia de Matemáticas , Springer,2001( ISBN 1402006098 , leer en línea )
"Álgebra", en Encyclopédie Larousse, [ leer en línea ]
Stella Baruk , “Álgebra” , en Dictionary of Elementary Mathematics [ detalle de ediciones ], § Álgebra clásica.

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Álgebra elemental " ( consulte la lista de autores ) .