Ecuación diferencial parcial hiperbólica

En matemáticas , un problema hiperbólico o ecuación diferencial parcial hiperbólica es una clase de fenómenos de propagación de modelado de ecuaciones diferenciales parciales (PDE), que surgen, por ejemplo, de forma natural en la mecánica . Un arquetipo de ecuación diferencial parcial hiperbólica es la ecuación de onda :

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial t ^ {2}}} - c ^ {2} \ Delta u = 0. \,}

Las soluciones a los problemas hiperbólicos tienen propiedades ondulatorias. Si se produce una perturbación localizada en el dato inicial de un problema hiperbólico, los puntos en el espacio alejados del soporte de la perturbación no sentirán sus efectos inmediatamente. En relación con un punto fijo del espacio-tiempo, las perturbaciones tienen una velocidad de propagación finita y se mueven a lo largo de las características de la ecuación. Esta propiedad permite distinguir problemas hiperbólicos de problemas elípticos o parabólicos , donde las perturbaciones de las condiciones iniciales (o de borde) tendrán efectos instantáneos en todos los puntos del dominio.

Aunque la definición de hiperbolicidad es fundamentalmente cualitativa, existen criterios precisos que dependen de la familia de ecuaciones diferenciales parciales consideradas.

Definición

Una ecuación diferencial parcial es hiperbólica en un punto P si el problema de Cauchy es soluble sólo en una vecindad de P para cualquier conjunto de datos inicial en un no-característica hipersuperficie que contiene P .

Ejemplos de

La ecuación de onda :

{\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial t ^ {2}}} - c ^ {2} \ Delta u = 0

es un problema hiperbólico, sea cual sea la dimensión.

Por un cambio lineal de variables, cualquier ecuación de la forma

{\ Displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} = F (u_ {x}, u_ {y}, u) \,}

con F una función regular y A , B , C coeficientes reales verificando:

B ^ {2} -AC> 0 \,

se puede transformar en una ecuación de onda, excepto para órdenes inferiores que no son representativos de la naturaleza de la ecuación. Esta definición debe compararse con la de la hipérbola cónica .

Este tipo de problemas hiperbólicos de segundo orden pueden convertirse en un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales de primer orden como las que se consideran en el resto de este artículo.

Sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales parciales

O el sistema según $s$ ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para $s$ funciones desconocidas , con ${\ vec u} = (u_ {1}, \ ldots, u_ {s})$ ${\ vec u} = {\ vec u} ({\ vec x}, t)$ ${\ vec x} \ in \ mathbb {R} ^ {d}$

(*) \ cuádruple {\ frac {\ parcial {\ vec u}} {\ parcial t}} + \ suma _ {{j = 1}} ^ {d} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ { j}}} {\ vec {f ^ {j}}} ({\ vec u}) = 0,

con son funciones continuamente diferenciables , generalmente no lineales. ${\ vec {f ^ {j}}} \ en C ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {s}, \ mathbb {R} ^ {s}), j = 1, \ ldots, d$

Luego posamos para cada una de las matrices jacobianas. ${\ vec {f ^ {j}}}$ $s \ times s$

{\ Displaystyle A ^ {j}: = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial f_ {1} ^ {j}} {\ partial u_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1} ^ {j}} {\ u_ parcial {s}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {s} ^ {j}} {\ parcial u_ { 1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {s} ^ {j}} {\ partial u_ {s}}} \ end {pmatrix}}, {\ text {pour}} j = 1, \ ldots, d}

Así, el sistema se reescribe: $(*)$

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ vec {u}}} {\ parcial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {d} A ^ {j} \ cdot {\ frac {\ parcial { \ vec {u}}} {\ parcial x_ {j}}} = 0}

Se dice que este sistema es hiperbólico si para todo , la matriz tiene valores propios reales y es diagonalizable . $\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {d} \ in \ mathbb {R}$ $A: = \ alpha _ {1} A ^ {1} + \ cdots + \ alpha _ {d} A ^ {d}$

Si la matriz A tiene dos por dos valores propios reales distintos, entonces es diagonalizable, y entonces hablamos de un sistema estrictamente hiperbólico .

Sistemas hiperbólicos y leyes de conservación.

Existe un fuerte vínculo entre los problemas hiperbólicos y las ecuaciones de conservación . Considere un problema hiperbólico escalar ( $s = 1$ ) para la función . Entonces tenemos $u = u ({\ vec x}, t)$

(**) \ quad {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} + \ sum _ {{j = 1}} ^ {d} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}} } {f ^ {j}} (u) = 0,

La $u$ desconocida puede ser una cantidad que tiene un flujo . Para demostrar que esta cantidad se conserva, integramos en un dominio ${\ vec f} = (f ^ {1}, \ ldots, f ^ {d})$ $\Omega$

\ int _ {{\ Omega}} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} \, d \ Omega + \ int _ {{{\ Omega}} \ nabla \ cdot {\ vec f} (u ) \, d \ Omega = 0.

Si $U$ y son funciones más o menos regulares, el teorema de Ostrogradski se aplica y se obtiene entonces una ley de conservación de $U$ que se escribe en la forma: $\ vec f$

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} u \, d \ Omega + \ int _ {\ parcial \ Omega} {\ vec {f}} (u) \ cdot {\ vec {n}} \, d \ Gamma = 0.}

Esta ecuación de equilibrio indica que el cambio en el volumen de referencia (primer término de la ecuación) es igual a la cantidad que entra o sale por el borde (segundo término).

Resolver un problema hiperbólico escalar en una dimensión

Estudiamos a continuación el problema escalar con una dimensión del espacio:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial f (u)} {\ parcial x}} = 0, \, \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times [0; + \ infty [}

Métodos de características

Reescribiendo la ley de conservación en forma no conservadora

{\ estilo de visualización {\ frac {\ u parcial} {\ t parcial}} + c (u) {\ frac {\ u parcial} {\ parcial x}} = 0, \, \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times [0; + \ infty [}

con $c ( u ) = f ' ( u )$ , resulta que las características son las soluciones de la familia de ecuaciones diferenciales:

{\ frac {d} {dt}} X_ {y} (t) = c (u (X_ {y} (t), t)), \ quad X_ {y} (0) = y.

Por tanto, u es constante a lo largo de las líneas , que llamamos líneas características . $x = y + c (u (y, 0)) t$

En el caso de que $f$ sea lineal ( $c ( u ) = c$ ), las líneas características son paralelas y la solución es, por tanto, una propagación de la solución inicial hacia adelante a velocidad $c$ , sin deformación:

u (x, t) = u_ {0} (x-ct).

Sin embargo, en el caso general donde $c$ no es lineal, no se puede garantizar la unicidad de la solución sin falta, porque las características pueden cruzarse en un punto $( x , t )$ . Es por esto que definimos la función de velocidad inicial para estudiar la posibilidad de que dos características provenientes de dos puntos diferentes se crucen al mismo tiempo. $c_ {0} = c (u_ {0})$

Teorema : en el caso de que la velocidad inicial sea creciente y continua, existe una solución única para el problema hiperbólico.

Demostración

La prueba radica en que si $c 0$ es creciente y continua, la función es biyectiva, lo que permite garantizar la existencia y unicidad de un punto $ξ ($ $x$ $,$ $t$ $)$ tal que: $\ xi \ mapsto \ xi + c_ {0} (\ xi) t$

x = \ xi (x, t) + c_ {0} (\ xi (x, t)) t.

Entonces, la solución viene naturalmente dada por

u (x, t) = u_ {0} (\ xi (x, t)).

Teorema : en el caso en el que la velocidad inicial sea Lipschitziana , existe una solución única al problema hiperbólico localmente en el tiempo.

Demostración

La prueba radica en el hecho de que si $c 0$ es Lipschitziana, la función es creciente y, por tanto, biyectiva continua, siempre que el parámetro $t$ sea menor que la inversa de la constante de Lipschitz de $c$ $0$ . El resto de la demostración es idéntica a la del enunciado anterior. $\ xi \ mapsto \ xi + c_ {0} (\ xi) t$

Condiciones de Rankine-Hugoniot

Para determinar si una solución regular por partes es una solución débil del problema hiperbólico estudiado, debe satisfacer las condiciones de Rankine-Hugoniot:

Condiciones de Rankine-Hugoniot : considere una curva regular. Sea u una función de la clase C 1 , acotada así como sus derivadas, en y de la clase C 1 en $t \ mapsto \ alpha (t)$ $\ Omega _ {-} = \ {(x, t), x <\ alpha (t) \}$ $\ Omega _ {+} = \ {(t, x), x> \ alpha (t) \}.$

Entonces u es una solución débil del problema si y solo si:

$u (x, t = 0) = u_ {0} (x)$
u satisface la ecuación en el sentido clásico en y $\ Omega _ {-}$ $\ Omega _ {+}$
u comprueba además la siguiente condición de salto:

f (u (\ alpha (t) ^ {+}, t))) - f (u (\ alpha (t) ^ {-}, t))) = \ alpha '(t) (u (\ alpha ( t) ^ {+}, t) -u (\ alpha (t) ^ {-}, t)), \, \ forall t \ geqslant 0.

Esta condición de salto se observa a menudo:

[\! [f (u)] \!] = \ alpha '[\! [u] \!].

La curva $α$ describe aquí el curso de la discontinuidad, y su derivada $α '$ corresponde, por tanto, a la velocidad del curso.

Soluciones de entropía

Una solución hiperbólica lineal admite necesariamente una solución única. En el caso de una ecuación hiperbólica no lineal, si se adquiere la existencia de la solución a corto plazo, puede haber varias soluciones. Una forma de elegir una solución entre las demás es imponer que la solución satisface una desigualdad de entropía. A esto se le llama solución entrópica.

Más precisamente, las soluciones entrópicas se definen como sigue.

Llamamos par de entropía de flujo de entropía a cualquier par de funciones que satisfagan: $(\ eta, q)$

$\ eta \ en C ^ {1} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})$ es una función convexa
$q '= \ eta' f '$

Se citarán, por ejemplo, las parejas de flujo de entropía de entropía de Kruzhkov, definido para $k$ real:

\ eta _ {k} (u) = | reino unido |, \, q_ {k} (u) = \ operatorname {sgn} (reino unido) (f (u) -f (k)).

Es la función $η la$ que actúa aquí como equivalente a la entropía.

Llamamos solución de entropía débil a cualquier función acotada u que satisfaga para cualquier par de flujo de entropía-entropía , la siguiente desigualdad en el sentido de las distribuciones: $(\ eta, q)$

{\ frac {\ parcial \ eta (u)} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial q (u)} {\ parcial x}} \ leqslant 0.

Esta noción de entropía permite caracterizar una solución y, por tanto, asegurar la unicidad de la correspondiente solución débil:

Teorema : para cualquier dato inicial $u 0$ , existe una única solución de entropía débil al problema.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Ecuación diferencial parcial hiperbólica " ( ver la lista de autores ) .

(in) BL Rozhdestvenskii , "Ecuación diferencial parcial hiperbólica" en Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
(en) Lawrence C. Evans (en) , Ecuaciones diferenciales parciales , Providence (RI), American Mathematical Society , al. “Estudios de Posgrado en Matemáticas” ( n o 19),2010, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1998), 749 p. ( ISBN 978-0-8218-4974-3 , presentación en línea ) , pág. 400.
Evans , 2010 , p. 402.

Ver también

Bibliografía

Bruno Després, François Dubois, Sistemas hiperbólicos de leyes de conservación - Aplicación a la dinámica de gases , Éditions de l'École Polytechnique, 2005

(en) Andrei Polyanin (en) , Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002 ( ISBN 1-58488-299-9 )

enlaces externos

Philippe Helluy, Introducción a la teoría y aproximación de sistemas hiperbólicos
Philippe Helluy, Aproximación de los sistemas de leyes de conservación hiperbólicas
Jean Fabre, olas , 2001
(en) Yu. I. Shokin y NN Yanenko , "Ecuación diferencial parcial hiperbólica, métodos numéricos" , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea )
(en) " Ecuaciones hiperbólicas lineales " , en EqWorld (en)
(en) " Ecuaciones hiperbólicas no lineales " , en EqWorld