Fracción continua gaussiana

En el análisis complejo , una fracción continua de Gauss es un caso especial de una fracción continua derivada de funciones hipergeométricas . Este fue uno de los primeros ejemplos de fracciones continuas analíticas . Permiten representar funciones elementales importantes, así como funciones especiales trascendentes más complicadas.

Historia

Lambert publicó algunos ejemplos de fracciones continuas generalizadas de esta forma en 1768, demostrando, entre otras cosas, la irracionalidad de $π$ ( cf. § "Aplicaciones a 0 F 1 " más adelante ). Euler y Lagrange exploraron construcciones similares, pero fue Gauss quien utilizó el truco algebraico descrito en la siguiente sección para dar la forma general de esta fracción continua, en 1813.

Sin embargo, no demostró sus propiedades de convergencia . Bernhard Riemann y Ludwig Wilhelm Thomé obtuvieron resultados parciales, pero no fue hasta 1901 que Edward Burr Van Vleck (en) aclaró el campo de la convergencia .

Formula general

Sea $( f i )$ una secuencia de funciones analíticas tales que para todo $i > 0$ ,

{\ Displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} \, z \, f_ {i + 1},}

donde las $k i$ son constantes . Así que al posar ${\ Displaystyle g_ {i} = {\ frac {f_ {i}} {f_ {i-1}}} {\ text {, tenemos}} g_ {i} = {\ frac {1} {1 + k_ {i} zg_ {i + 1}}}}$ por lo tanto (en notación de Pringsheim ) ${\ Displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = g_ {1} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1 + k_ {1} zg_ {2}}} = { \ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1 + k_ {2} zg_ {3}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {2} z \ mid} {\ mid 1 + k_ {3} zg_ {4 }}} = \ ldots}$ y repitiendo esta transformación indefinidamente:

{\ Displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {2} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {3} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}

En la fracción continua de Gauss, las funciones $f i$ son funciones hipergeométricas de la forma 0 F 1 , 1 F 1 y 2 F 1 , y las ecuaciones $f i -1 - f i = k i zf i +1$ provienen de ' identidades entre estas funciones, en las que los parámetros difieren en cantidades enteras . Estas identidades se pueden demostrar de varias formas, por ejemplo, expandiendo la serie y comparando los coeficientes, o calculando la derivada de varias formas y eliminándola de las ecuaciones producidas.

Las tres series 0 F 1 , 1 F 1 y 2 F 1

La serie 0 F 1

El caso más simple se refiere a la función

{\ Displaystyle {} _ {0} F_ {1} (; a; z) = 1 + {\ frac {1} {a \, 1!}} z + {\ frac {1} {a (a + 1 ) \, 2!}} Z ^ {2} + {\ frac {1} {a (a + 1) (a + 2) \, 3!}} Z ^ {3} + \ cdots.}

Según identidad ${\ Displaystyle _ {0} F_ {1} (; a-1; z) - \, _ {0} F_ {1} (; a; z) = {\ frac {z} {a (a-1) }} \, _ {0} F_ {1} (; a + 1; z),}$ uno puede tomar ${\ Displaystyle f_ {i} = \, _ {0} F_ {1} (; a + i; z) {\ text {et}} k_ {i} = {\ frac {1} {(a + i) (a + i-1)}},}$ Que dan ${\ Displaystyle {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)} {\, _ {0} F_ {1} (; a; z)}} = {\ frac { 1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {a (a + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1 } {(a + 1) (a + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {(a + 2) (a + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ o, por conversión :

{\ Displaystyle {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)} {a \, _ {0} F_ {1} (; a; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid a}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid a + 1}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid a + 2}} + {\ frac { z \ mid} {\ mid a + 3}} + \ cdots.}

Este desarrollo converge a la función meromórfica definida por el cociente de las dos series convergentes (siempre que, por supuesto, $a$ no sea un número entero negativo o cero).

La serie 1 F 1

El siguiente caso se refiere a la función hipergeométrica confluente de Kummer

{\ Displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = 1 + {\ frac {a} {b \, 1!}} z + {\ frac {a (a + 1)} {b (b + 1) \, 2!}} z ^ {2} + {\ frac {a (a + 1) (a + 2)} {b (b + 1) (b + 2) \, 3 !}} z ^ {3} + \ cdots,}

para lo cual las dos identidades se utilizan alternativamente ${\ Displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = {\ frac {(a- b + 1) z} {b (b-1)}} \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$ ${\ Displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, _ {1} F_ {1} (a; b; z) = {\ frac {az} {b ( b-1)}} \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z).}$ Preguntando ${\ Displaystyle f_ {0} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$ ${\ Displaystyle f_ {1} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$ ${\ Displaystyle f_ {2} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 2; z),}$ ${\ Displaystyle f_ {3} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 3; z),}$ ${\ Displaystyle f_ {4} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 4; z),}$ etc. y ${\ Displaystyle k_ {1} = {\ frac {ab} {b (b + 1)}}, ~ k_ {2} = {\ frac {a + 1} {(b + 1 (b + 2)}} , ~ k_ {3} = {\ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}}, ~ k_ {4} = {\ frac {a + 2} {(b + 3) ( b + 4)}}, \ ldots}$ obtenemos ${\ Displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab} {b (b + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{{\ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ de lo que deducimos

{\ Displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {b \, _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {(ab) z \ mid} {\ mid b + 1}} + {\ frac {(a + 1) z \ mid} { \ mid b + 2}} + {\ frac {(ab-1) z \ mid} {\ mid b + 3}} + {\ frac {(a + 2) z \ mid} {\ mid b + 4} } + \ cdots}

pero también, usando que 1 F 1 (0; b ; z ) = 1 y reemplazando $b + 1$ por $b$ , el caso especial

{\ Displaystyle {} _ {1} F_ {1} (1; b; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid b + 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid b + 2}} + {\ frac {2z \ mid} {\ mid b + 3} } - {\ frac {(b + 1) z \ mid} {\ mid b + 4}} + \ cdots.}

Igualmente, ${\ Displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a} {b (b + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab-1} {(b + 1) (b + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab-2} {(b + 3) (b + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ o :

{\ Displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {b \, _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { \ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {az \ mid} {\ mid b + 1}} + {\ frac {(ab-1) z \ mid} {\ mid b + 2 }} + {\ frac {(a + 1) z \ mid} {\ mid b + 3}} + {\ frac {(ab-2) z \ mid} {\ mid b + 4}} + \ cdots. }

La serie 2 F 1

El último caso se refiere a la función

{\ Displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = 1 + {\ frac {ab} {c \, 1!}} z + {\ frac {a (a + 1 ) b (b + 1)} {c (c + 1) \, 2!}} z ^ {2} + {\ frac {a (a + 1) (a + 2) b (b + 1) (b + 2)} {c (c + 1) (c + 2) \, 3!}} Z ^ {3} + \ cdots.}

Usamos nuevamente, alternativamente, dos identidades: ${\ Displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) = {\ frac {(ac + 1) bz} {c (c-1)}} \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$ ${\ Displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, _ {2} F_ {1} (a, b + 1; c; z) = {\ frac {(bc + 1) az} {c (c-1)}} \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$ que son de hecho el mismo con inversión de cerca de $una$ y $b$ .

Preguntando ${\ Displaystyle f_ {0} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$ ${\ Displaystyle f_ {1} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z),}$ ${\ Displaystyle f_ {2} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 2; z),}$ ${\ Displaystyle f_ {3} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 1; c + 3; z),}$ ${\ Displaystyle f_ {4} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 2; c + 4; z),}$ etc. y ${\ Displaystyle k_ {1} = {\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}}, ~ k_ {2} = {\ frac {(bc-1) (a + 1)} {( c + 1) (c + 2)}}, ~ k_ {3} = {\ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}}, ~ k_ { 4} = {\ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}}, \ ldots}$ obtenemos ${\ Displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z \ mid} {\ mid 1} } + {\ frac {{\ frac {(bc-1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {(bc-2) ) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ de lo que deducimos

{\ Displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid c}} + {\ frac {(ac) bz \ mid} {\ mid c + 1}} + {\ frac {(bc-1) (a +1) z \ mid} {\ mid c + 2}} + {\ frac {(ac-1) (b + 1) z \ mid} {\ mid c + 3}} + {\ frac {(bc- 2) (a + 2) z \ mid} {\ mid c + 4}} + \ cdots.}

pero también, usando que 2 F 1 (0, b ; c ; z ) = 1 y reemplazando $c + 1$ por $c$ , el caso especial

{\ Displaystyle {} _ {2} F_ {1} (1, b; c; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid c }} + {\ frac {(bc) z \ mid} {\ mid c + 1}} - {\ frac {c (b + 1) z \ mid} {\ mid c + 2}} + {\ frac { 2 (bc-1) z \ mid} {\ mid c + 3}} - {\ frac {(c + 1) (b + 2) z \ mid} {\ mid c + 4}} + \ cdots.}

Convergencia

En esta sección, excluimos el caso donde algunos parámetros son números enteros negativos o cero porque en este caso, o las series hipergeométricas no están definidas, o son polinomios y luego la fracción continua es finita. También excluimos otras excepciones triviales.

Las funciones 0 F 1 y 1 F 1 son enteros, por lo que sus cocientes son meromorfos . Las fracciones continuas obtenidas convergen uniformemente en cualquier cerrado acotado del plano complejo que no contiene ninguno de los polos de esta función.

El radio de convergencia de la serie 2 F 1 es igual a 1 por lo que sus cocientes son meromorfos en el disco unitario abierto . Las fracciones continuas obtenidas convergen uniformemente sobre cualquier cerrado acotado incluido en este disco y que no contenga ninguno de los polos. Fuera del disco, la fracción continua representa una continuación analítica de la función en el plano complejo privado de la media línea real $[1, + \infty [$ . Muy a menudo, el punto $1$ es un punto de ramificación y la media línea $[1, + \infty [$ es un corte de ramificación para esta función.

Ejemplos de aplicaciones

Aplicaciones a 0 F 1

Así encontramos las fracciones continuas de Lambert para las funciones hiperbólicas tangente y tangente (ver el § “Irracionalidad” del artículo sobre la aproximación diofántica ): ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ tanh (z) & = {\ frac {\ sinh (z)} {\ cosh (z)}} = {\ frac {z \, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {3} {2}}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})} {\, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2 }}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})}} = {\ frac {z} {2}} ~ {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}} + 1; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})} {{\ tfrac {1} {2}} \, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})}} \\ & = {\ frac {{\ frac {z} {2}} \ mid} { \ mid {\ tfrac {1} {2}}}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 1}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 2}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 3}} + \ cdots \\ & = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + \ cdots \ end {alineado}}}$ (que, después de algunas transformaciones , se puede utilizar para determinar la fracción continua de e ); ${\ Displaystyle \ tan (z) = - {\ rm {i}} \ tanh ({\ rm {i}} z) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 7} } - \ cdots.}$
La función de Bessel $J α$ se puede escribir ${\ Displaystyle J _ {\ alpha} (z) = {\ frac {({\ tfrac {1} {2}} z) ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}}).}$ De ello se deduce que para cualquier complejo $z$ ,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {J _ {\ alpha} (z)} {J _ {\ alpha -1} (z)}} & = {\ frac {z \ Gamma (\ alpha) } {2 \ Gamma (\ alpha +1)}} {\ frac {\, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}}) } {{} _ {0} F_ {1} (; \ alpha; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})}} = {\ frac {z} {2}} {\ frac { \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})} {\ alpha \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})}} \\ & = {\ frac {{\ frac {z} {2}} \ mid} {\ mid \ alpha}} - { \ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid \ alpha +1}} - {\ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid } {\ mid \ alpha +2}} - {\ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid \ alpha +3}} - \ cdots \\ & = {\ frac {z \ mid} {\ mid 2 \ alpha}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +1)}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +2)}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +3)}} - \ cdots. \ end {alineado}}}$

Aplicaciones a 1 F 1

La función exponencial se desarrolla en ${\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = {} _ {1} F_ {1} (1; 1; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid 2}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {2z \ mid } {\ mid 4}} - {\ frac {2z \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots.}$
La función de error $erf se$ desarrolla, para cualquier $z$ complejo , en ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} {\ rm {e}} ^ {z ^ {2}} {\ rm {erf}} (z) = \, _ {1} F_ {1} (1; {\ tfrac {3} {2}}; z ^ {2}) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {3} {2}}}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {5} {2}}}} - {\ frac { {\ frac {3} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {7} {2}}}} + {\ frac {2z ^ {2} \ mid} {\ mid { \ frac {9} {2}}}} - {\ frac {{\ frac {5} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {11} {2}}}} + {\ frac {3z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {13} {2}}}} - {\ frac {{\ frac {7} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {15} {2}}}} + \ cdots.}$
Podemos desarrollar de la misma forma las funciones de Fresnel , la de Dawson y las funciones gamma incompletas $γ ( s , z )$ y $Γ ( s , z )$ .

Aplicaciones a 2 F 1

De ${\ Displaystyle (1-z) ^ {- b} = \, _ {1} F_ {0} (b ;; z) = \, _ {2} F_ {1} (1, b; 1; z) }$ (variante de la serie binomial $(1 + z ) α$ ) deducimos ${\ Displaystyle (1-z) ^ {- b} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {(b -1) z \ mid} {\ mid 2}} - {\ frac {(b + 1) z \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {2 (b-2) z \ mid} {\ mid 4}} - {\ frac {2 (b + 2) z \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots}$ así como la siguiente expresión de función arco tangente : ${\ Displaystyle \ arctan (z) = z \, _ {2} F_ {1} ({\ tfrac {1} {2}}, 1; {\ tfrac {3} {2}}; - z ^ {2 }) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {(1z) ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {(2z) ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {(3z) ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + {\ frac {(4z) ^ {2} \ mid} {\ mid 9} } + \ cdots,}$ que converge en el plano complejo privado de las dos medias líneas $] -\infty, -1] i$ y $[1, + \infty [i$ del eje imaginario puro ( $i$ y $-i$ son puntos de ramificación ). Esta convergencia es bastante rápida en $z = 1$ , lo que da una aproximación de $π / 4$ a 7 decimales desde el noveno reducido (mientras que con la fórmula de Brouncker , se necesitan más de un millón de términos para la misma precisión).
Podemos desarrollar de la misma forma, por ejemplo, el logaritmo natural y la función arco seno .

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Fracción continua de Gauss " ( ver la lista de autores ) .

(en) Hubert Stanley Wall (en) , Teoría analítica de fracciones continuas , AMS ,2000( 1 st ed. 1948), 433 p. ( ISBN 978-0-8218-2106-0 ) , pág. 349.
(en) William B. Jones y WJ Thron , Fracciones continuas: teoría y aplicaciones analíticas , Addison-Wesley , al. "Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones" ( n o 11)1980( ISBN 978-0-201-13510-7 ) , pág. 5.
(La) CF Gauss , " Disquisitiones generales circa seriem infinitam: Sectio secunda - Fractiones continuae " , Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores ,1813, p. 13-17 ( leer en línea ).
B. Riemann, en el desarrollo del cociente de dos series hipergeométricas en fracción continua infinita , 1863 - Œuvre de Riemann, 1873, 2 ª ed., P. 424 (fragmento póstumo - título original: (it) “ Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita ”).
(de) LW Thomé , “ Über die Kettenbruchentwicklung des Gauss schen Quotienten… ” , J. queen angew. Matemáticas. , vol. 67,1867, p. 299-309 ( leer en línea ).
(in) EB Van Vleck , " Sobre la convergencia de la fracción continua de Gauss y otras fracciones continuas " , Annals of Mathematics , vol. 3,1901, p. 1-18 ( DOI 10.2307 / 1967627 ).
Jones y Thron 1980 , p. 206.
Wall 2000 , p. 339.
(de) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner,1913( leer en línea ) , “§ 64: Beispiele - Die Kettenbrüche von Gauss und Heine” , pág. 343-354.
La forma equivalente dada en Gauss 1813 , p. 16, aparece en el § “Fracción continua del primer tipo” del artículo sobre las aproximaciones de Padé de la función exponencial .
Jones y Thron 1980 , p. 208.
Wall 2000 , p. 343.
Jones y Thron 1980 , p. 202.

Ver también

Fracción continua de Rogers-Ramanujan

Enlace externo

(en) Eric W. Weisstein , " Fracción continua de Gauss " , en MathWorld