En matemáticas , intuitivamente, el límite de una secuencia es el elemento cuyos términos de la secuencia se acercan cuando los índices se vuelven muy grandes. Esta definición intuitiva es apenas utilizable porque sería necesario poder definir el significado de "acercarse". Esta noción implica la existencia de una distancia (inducida por el valor absoluto en ℝ , por el módulo en ℂ , por la norma en un espacio vectorial normalizado ) pero veremos que incluso podemos prescindir de ella siempre que tengamos una topología . En este artículo se presentará primero la noción de límite de secuencia real , luego la de secuencia compleja y solo después, aunque signifique redundancia, la de límite en un espacio topológico .
Si la formalización del límite de una suite llega bastante tarde, su uso intuitivo se remonta a más de 2000 años. En los Elementos de Euclides (X.1), leemos: "Dadas dos magnitudes desiguales, sin embargo, la mayor se resta más de la mitad, y el resto se corta más de la mitad y siempre continuamos de esta manera, vamos a terminan con una cantidad menor que la más pequeña dada ” . En el lenguaje actual, eso daría:
o (nótese simplemente ) una secuencia de positivo real tal que para todo n , entonces para todo positivo real , existe un índice tal que . Que es casi la definición de una secuencia con un límite de 0.Algunos podrían creer que esta interpretación del décimo elemento de Euclides es una modernización falaz, basta para desengañarlos mirando el uso de Arquímedes en sus métodos de cuadratura . Buscando calcular el área del disco o el área bajo una parábola , por ejemplo, busca aproximarse por áreas de polígonos y luego observa la diferencia entre el área buscada y el área del polígono. Demuestra que en cada paso esta diferencia se ha reducido a más de la mitad y es así como concluye que al continuar el proceso indefinidamente, estaremos lo más cerca que queramos de la zona buscada. Este es el " método del agotamiento ".
Esta intuición del límite mal formalizado no permitirá, sin embargo, disipar las paradojas de Zenón , como la de Aquiles y la tortuga : Aquiles comienza con un handicap A y corre el doble de rápido que la tortuga. Cuando llega al punto de partida de la tortuga, esta última ya ha recorrido la distancia A / 2 , Aquiles luego recorre la distancia A / 2 pero la tortuga ha recorrido la distancia A / 4 , en este tren, Aquiles no alcanza con la tortuga solo después de un número infinito de procesos, es decir nunca .
Entonces hubo que esperar 1.600 años y la obra de Grégoire de Saint-Vincent para vislumbrar un intento de formalización imperfecta, luego el cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz .
Decimos que una secuencia real admite como límite un ℓ real si:
cualquier intervalo abierto que contenga ℓ también contiene todos los términos de la secuencia excepto un número finito de ellos (es decir, contiene todos los términos de la secuencia de un cierto rango).También decimos que converge a ℓ. Si una secuencia tiene un límite real, decimos que es convergente o que converge.
La definición anterior se traduce formalmente como:
.Luego escribimos
o más simplemente, cuando no hay ambigüedad , oDe esta definición, podemos deducir que
Las propiedades de completitud de ℝ también nos permiten afirmar que
Ejemplos de secuencias convergentes
Decimos que una secuencia real diverge si no converge. Una secuencia divergente puede tener un límite infinito o no tener límite .
Decimos que una secuencia tiende a + ∞ si cualquier intervalo de la forma ] A , + ∞ [ contiene todos los términos de la secuencia excepto un número finito de ellos (es decir, contiene todos los términos de la secuencia a partir de un cierto rango).
Esta definición se traduce formalmente como:
Luego escribimos
o más simplemente, cuando no hay ambigüedad, oDecimos que una secuencia tiende a –∞ si cualquier intervalo de la forma ] –∞, A [ contiene todos los términos de la secuencia excepto un número finito de ellos.
Esta definición se traduce formalmente como:
Luego escribimos
o más simplemente, cuando no hay ambigüedad oEl ejemplo fundamental de una sucesión que tiende al infinito es el inverso de una sucesión con signo constante y que tiende a 0:
Dos resultados son bastante fáciles de lograr:
Algunas secuencias reales no tienden ni hacia una real, ni hacia + ∞ , ni hacia –∞ . Este es el caso, por ejemplo:
Demostramos que las operaciones sobre secuencias convergentes se transmiten hasta sus límites siempre que la operación tenga un significado. Matemáticamente hablando, esto significa que si y si entonces
Además, si f es una función continua en y si se define entonces
La intervención de secuencias tendientes a ± ∞ complica un poco los cálculos:
Decimos que una secuencia converge a un complejo ℓ si
Observamos que es la misma definición que en ℝ, excepto que ya no se trata de valor absoluto sino de módulo .
Luego escribimos
o más simplemente, cuando no hay ambigüedad,Encontramos para las secuencias complejas convergentes, las mismas propiedades que para las secuencias reales, excepto las vinculadas a la relación de orden: el límite es único, una secuencia convergente tiene un módulo acotado, cualquier secuencia de Cauchy converge (de hecho, ℂ también es completa) , las diferentes operaciones como suma, producto, cociente se transmiten bien al límite.
En un espacio vectorial normalizado , decimos que una secuencia converge a ℓ si
Es una generalización del límite de una secuencia compleja, siendo la norma habitual en el plano complejo el módulo.
Luego escribimos
o más simplemente, cuando no hay ambigüedad,Se conserva la unicidad del límite y la transmisión al límite de la suma y de la multiplicación por un escalar . Solo en un espacio vectorial normalizado completo podemos afirmar que cualquier secuencia de Cauchy converge.
En un espacio métrico , decimos que una secuencia converge a ℓ si
Tenga en cuenta que esta es la misma definición que en , excepto que ya no se trata del valor absoluto de una diferencia sino de la distancia.
Luego escribimos
o más simplemente, cuando no hay ambigüedad,Solo se mantiene la unicidad del límite. Será necesario estar en un espacio métrico completo para poder decir que cualquier secuencia de Cauchy converge. Si existe una operación sobre el espacio en cuestión, tendrá que ser continua para que se transmita hasta el límite.
Todas las definiciones anteriores confluyen en la definición de convergencia en un espacio topológico .
O E un espacio con una topología T .
Decimos que la secuencia converge a si, por cualquier abierta O de T que contiene elemento de ℓ, hay un número natural N tal que todos los que pertenecen a O .
Basta que se separe el espacio para poder afirmar que el límite es único .
Esta sección se ocupa únicamente del caso de secuencias de valores en un espacio métrico, por lo tanto, con bases contables de vecindarios . En este contexto, la noción de valor de adhesión como se define a continuación coincide con la noción general, que es diferente.
O una secuencia con valores en un espacio métrico E .
Si es una función estrictamente creciente (tal función se llama extractor ), decimos que la secuencia es una secuencia extraída (o subsecuencia ) de la secuencia
En términos generales, es la continuación para la que solo mantuvimos ciertos términos (un infinito de todos modos).
Decimos que el valor ℓ es un valor de adherencia de la secuencia si existe una secuencia extraída de la cual converge hacia ℓ.
Para hacernos una idea, un valor de adhesión es un elemento "cerca del cual pasa a menudo la secuencia", es decir, que en la medida que vayamos, siempre encontraremos un término de la secuencia cerca de este elemento.
Propiedad 1
Si una secuencia de valores en E converge hacia l ∈ E , l es el único valor de adhesión de es decir que todas las secuencias extraídas convergen hacia l .
En el caso de que E sea un espacio compacto , incluso tenemos un recíproco. Se aplica, por ejemplo, a cualquier secuencia con valores en un segmento de ℝ (en otras palabras, a cualquier secuencia real acotada), o incluso a cualquier secuencia real, tomando como compacta la línea real completada (en este caso, + ∞ y - ∞ no están excluidos a priori del inventario de los valores de adhesión de la continuación):
Propiedad 2
Si una secuencia tiene valores en un espacio compacto E , entonces admite al menos un valor de adhesión en E , y converge si y solo si admite solo uno .
Propiedad 3
Una secuencia de valores en E converge a l ∈ E si y solo si:
También podemos ver cómo generalizar este resultado: basta con que las imágenes de los extractores considerados cubran íntegramente ℕ (por ejemplo, aquí, y ), es decir que los (infinitos) conjuntos de índices de las secuencias extraídas utilizadas tengan como un reencuentro todos los naturales.
Nota
Esta propiedad es útil para demostrar la no convergencia de una secuencia de valores en E : si
entonces no converjan.
Ejemplo
Lo siguiente (-12, 23, -34, 45, -56,…) = ((–1) nnon +1) n ∈ℕ * (ver figura) se puede dividir en dos subsecuencias :
Las dos subsecuencias convergen hacia límites diferentes, la secuencia inicial no converge.
Siempre que E es un espacio métrico, tenemos el poderoso teorema de Bolzano-Weierstrass :
Un espacio métrico E es compacto si (y sólo si) es secuencialmente compacto , es decir, si todos los valores siguientes en E tiene al menos un valor de adherencia en E .