Tangente hiperbólica
Función tangente hiperbólica
Gráfico de la función tangente hiperbólica sobre un subconjunto de ℝ.
Clasificación |
tanh(X){\ Displaystyle \ tanh (x)}
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Recíproco |
Artanh(X){\ displaystyle {\ text {artanh}} (x)} sobre ]-1,1[{\ Displaystyle] -1, \, 1 [}
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Derivado |
1-tanh2(X){\ Displaystyle 1- \ tanh ^ {2} (x)} o 1aporrear2(X){\ Displaystyle {\ frac {1} {\ cosh ^ {2} (x)}}}
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Primitivas |
en(aporrear(X))+VS{\ Displaystyle \ ln (\ cosh (x)) + C}
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La tangente hiperbólica es, en matemáticas , una función hiperbólica .
Definición
La función tangente hiperbólica, denotada tanh (o th) es la siguiente función compleja :
tanh:VS∖Iπ(Z+12)⟶VSz⟼pecado(z)aporrear(z){\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ tanh: & \ mathbb {C} \ setminus {\ rm {i}} \ pi \ left (\ mathbb {Z} + {\ dfrac {1} {2}} \ right ) & \ longrightarrow & \ mathbb {C} \\ & z & \ longmapsto & {\ dfrac {\ sinh (z)} {\ cosh (z)}} \ end {matrix}}}donde sinh es la función del seno hiperbólico y cosh es la función del coseno hiperbólico .
Esta definición es análoga a la de la función tangente como la razón del seno y el coseno , y además, tenemos (para todo el dominio de definición) , o incluso para todos .
z{\ Displaystyle z}tanh(z)=-Ibroncearse(Iz){\ Displaystyle \ tanh (z) = - i \ tan (iz)}broncearse(z)=-Itanh(Iz){\ Displaystyle \ tan (z) = - i \ tanh (iz)}z∈VS∖π(Z+12){\ Displaystyle z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ pi \ left (\ mathbb {Z} + {\ frac {1} {2}} \ right)}
La tangente hiperbólica se puede expresar usando la función exponencial :
tanh(z)=miz-mi-zmiz+mi-z=mi2z-1mi2z+1=1-mi-2z1+mi-2z.{\ Displaystyle \ tanh (z) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {z} - {\ rm {e}} ^ {- z}} {{\ rm {e}} ^ {z} + {\ rm {e}} ^ {- z}}} = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {2z} -1} {{\ rm {e}} ^ {2z} +1}} = {\ frac {1 - {\ rm {e}} ^ {- 2z}} {1 + {\ rm {e}} ^ {- 2z}}}.}
Propiedades
Propiedades generales
- En su dominio de definición , tanh es holomórfico (por lo tanto, continuo e incluso infinitamente diferenciable ), con una derivada igual atanh′=1aporrear2=1-tanh2.{\ Displaystyle \ tanh '= {\ frac {1} {\ cosh ^ {2}}} = 1- \ tanh ^ {2}.}
- tanh es, por tanto, una solución de la ecuación diferencial f '= 1- f 2 (que es una ecuación de Riccati , cuya solución general es x ↦ tanh ( x + C ) ).
- Es periódica , con período iπ .
- Es una función extraña .
- Ella revisa la fórmula de la suma tanh(α+β)=tanhα+tanhβ1+tanhαtanhβ.{\ Displaystyle \ tanh (\ alpha + \ beta) = {\ frac {\ tanh \ alpha + \ tanh \ beta} {1+ \ tanh \ alpha \, \ tanh \ beta}}.}
- Su restricción a ℝ es una biyección estrictamente creciente de ℝ a] –1, 1 [.
- En ℝ, una antiderivada de tanh es ln ∘ cosh .
Desarrollo en serie de Taylor
La expansión de la serie de Taylor en 0 de tanh se expresa utilizando los números de Bernoulli B k , definidos por la siguiente serie de enteros (con radio de convergencia 2π ):
zmiz-1=∑k=0∞Bkzkk!=1-z2+∑no=1∞B2noz2no(2no)!.{\ Displaystyle {\ frac {z} {{\ rm {e}} ^ {z} -1}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k} {\ frac {z ^ { k}} {k!}} = 1 - {\ frac {z} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {z ^ {2n}} { (2n)!}}.}
tanhz=∑no=1∞22no(22no-1)B2no(2no)!z2no-1=z-z33+2z515-17z7315+62z92835+⋯.{\ Displaystyle \ tanh z = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n}} {(2n)!}} z ^ {2n-1} = z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {2z ^ {5}} {15}} - {\ frac {17z ^ {7}} {315}} + {\ frac {62z ^ {9}} {2835}} + \ cdots.}
El radio de convergencia de toda esta serie es π / 2 .
Demostración
Este desarrollo se puede deducir inmediatamente de la más simple de la función cotangente hiperbólica : para 0 <| z | < π ,
cothz=mi2z+1mi2z-1=1+2mi2z-1=1z+∑no=1∞B2no22no(2no)!z2no-1,{\ Displaystyle \ coth z = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {2z} +1} {{\ rm {e}} ^ {2z} -1}} = 1 + {\ frac {2} {{\ rm {e}} ^ {2z} -1}} = {\ frac {1} {z}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {2n} {\ frac {2 ^ {2n}} {(2n)!}} Z ^ {2n-1},}
usando identidad
tanhz=2coth(2z)-cothz.{\ Displaystyle \ tanh z = 2 \ coth (2z) - \ coth z.}
Expansión de fracción continua
En 1761 , Jean-Henri Lambert demostró que una de las expansiones de fracciones continuas generalizadas de la función tanh es
tanhX=X1+X23+X25+⋯,{\ Displaystyle \ tanh x = {\ frac {x} {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {3 + {\ dfrac {x ^ {2}} {5+ \ cdots}}}}}} ,}
así como un teorema general que permite deducir de él que el exponencial de cualquier racional distinto de cero es un irracional (cf. " Fracción continua y aproximación diofántica ").
Valores
Algunos valores de tanh:
- tanh(0)=0,{\ Displaystyle \ tanh (0) = 0,}
- tanh(1)=mi2-1mi2+1,{\ Displaystyle \ tanh (1) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {2} -1} {{\ rm {e}} ^ {2} +1}},}
- tanh(I)=Ibroncearse(1).{\ Displaystyle \ tanh ({\ rm {i}}) = {\ rm {i}} \ tan (1).}
Función recíproca
La biyección recíproca de la restricción de tanh a ℝ, notada artanh (o argtanh o argth o incluso a veces tanh −1 ), se hace explícita por:
∀X∈]-1,1[ArtanhX=12 en1+X1-X=12(en(1+X)-en(1-X)){\ Displaystyle \ forall x \ in \ left] -1,1 \ right [\ quad \ operatorname {artanh} x = {\ frac {1} {2}} ~ \ ln {\ frac {1 + x} {1 -x}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ ln (1 + x) - \ ln (1-x) \ right)},
donde ln denota el logaritmo natural .
De manera más general, la función tanh está restringida a una biyección de ℝ + i] –π / 2, π / 2 [ en ℂ \ (] –∞, –1] ∪ [1, + ∞ [) , cuyo recíproco es descrito a través de:
∀v∈VS∖(]-∞,-1]∪[1,+∞[)Artanhv=12 Tronco1+v1-v=12(Tronco(1+v)-Tronco(1-v)){\ Displaystyle \ forall v \ in \ mathbb {C} \ setminus \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right) \ quad \ operatorname {artanh} v = {\ frac {1} {2}} ~ \ operatorname {Log} {\ frac {1 + v} {1-v}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ operatorname {Log} (1 + v ) - \ operatorname {Log} (1-v) \ right)},
donde Log denota la determinación principal del logaritmo complejo .
De hecho, para todo z del dominio de definición de tanh , el complejo tanh z es la imagen de u = e 2 z por la función u ↦ v =u - 1/u + 1. Ahora bien, esta función es una biyección de ℂ \ {- 1} en ℂ \ {1}, de recíproco v ↦ u =1 + v/1 - vy envía ℂ \ ℝ - en ℂ \ (] –∞, –1] ∪ [1, + ∞ [) .
La función artanh es holomórfica al aire libre y admite el desarrollo en series completas:
VS∖(]-∞,-1]∪[1,+∞[){\ Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right)}
Artanhz=∑no=0+∞z2no+12no+1{\ Displaystyle \ operatorname {artanh} z = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}}}en el
disco de
unidad cerrada privada de 1 y –1.
|z|≤1{\ Displaystyle | z | \ leq 1}Aplicaciones
La función tangente hiperbólica cambia gradualmente de un valor de –1 a un valor de 1. Por lo tanto, se puede utilizar para representar un fenómeno de transición progresiva y “suave” entre dos estados.
Ciertos fenómenos (físicos, económicos…) no pueden describirse mediante una única función en todo el campo de estudio. Este es típicamente el caso de un material que experimenta cambios de fase en el rango de temperatura y presión estudiado. Luego definimos dos dominios conjuntos (o más) y una función diferente en cada dominio; puede ser una función que tenga la misma forma pero diferentes parámetros. Por tanto, tenemos una función de la forma
F(X)={F1(X) para X⩽XtF2(X) para X>Xt{\ Displaystyle f (x) = {\ begin {cases} f_ {1} (x) {\ text {para}} x \ leqslant x _ {\ mathrm {t}} \\ f_ {2} (x) { \ text {para}} x> x _ {\ mathrm {t}} \\\ end {cases}}}siendo la cantidad x t una constante, el valor de borde.
En ciertos casos, estas funciones de la izquierda y de la derecha no se conectan perfectamente: la función total no es diferenciable, ni siquiera continua. En particular, si los parámetros de las funciones f 1 y f 2 se establecen por regresión sobre los datos medidos, no hay conexión por construcción ( f 1 ( x t ) ≠ f 2 ( x t ) ). Este efecto de umbral puede conducir a problemas computacionales si esta función se utiliza para resolver numéricamente (por computadora) un problema, típicamente resolución numérica de una ecuación diferencial u optimización ; entonces se puede tener una inestabilidad numérica, un cálculo iterativo que diverge.
Para resolver este problema, y si las funciones f 1 y f 2 están definidas sobre todo el conjunto de estudio, podemos deslizarnos gradualmente de una función a otra usando “funciones de transición” construidas a partir de una tangente hiperbólica: definimos dos funciones g 1 y g 2 de la forma
{gramo1(X)=0,5×[1+tanh((Xt-X)/l)]gramo2(X)=0,5×[1+tanh((X-Xt)/l)]{\ Displaystyle {\ begin {cases} g_ {1} (x) = 0.5 \ times \ left [1+ \ tanh ((x _ {\ mathrm {t}} -x) / l) \ right] \\ g_ {2} (x) = 0,5 \ veces \ left [1+ \ tanh ((xx _ {\ mathrm {t}}) / l) \ right] \\\ end {cases}}}donde l es un factor de ancho. Luego definimos la función global
F~=gramo1×F1+gramo2×F2{\ Displaystyle {\ tilde {f}} = g_ {1} \ times f_ {1} + g_ {2} \ times f_ {2}}.
En el contexto de la relatividad especial, el cálculo de las transformaciones de Lorentz también utiliza la función tangente hiperbólica .
En inteligencia artificial
La función tangente hiperbólica también es muy similar a la función sigmoidea utilizada con las redes neuronales por sus características de diferenciación .
Notas y referencias
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La norma internacional ISO / IEC 80000-2 : 2009 recomienda tanh
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El estándar ISO / IEC 80000-2 : 2009 recomienda artanh .
Ver también
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">