Integral de Fresnel
La integral de Fresnel es una integral impropia introducida por el físico francés Augustin Fresnel .
Fórmula de Fresnel
∫0+∞porque(t2) Dt=∫0+∞pecado(t2) Dt=12π2.{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ cos (t ^ {2}) ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ sin (t ^ { 2}) ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}.}
Estas igualdades son equivalentes a la expresión de la integral de Fresnel compleja (por identificación de las partes real e imaginaria en una dirección y por combinación lineal en la otra):
∫0+∞mi-It2Dt=π21-I2.{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t = {\ sqrt {\ dfrac { \ pi} {2}}} {\ dfrac {1- \ mathrm {i}} {2}}.}
Convergencia de la integral
El cálculo explícito ( ver más abajo ) mostrará que la integral de Fresnel converge, pero podemos asegurarnos de ello de manera más simple:
- por el cambio de variable , la convergencia de es equivalente a la de ;s=t2{\ Displaystyle s = t ^ {2}}∫1+∞mi-It2 Dt{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} ~ \ mathrm {d} t}∫1+∞mi-Iss1/2 Ds{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} s}} {s ^ {1/2}}} ~ \ mathrm {d } s}
- según la regla de Abel , para todo λ> 0 , la integral converge.∫1+∞mi-Issλ Ds{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} s}} {s ^ {\ lambda}}} ~ \ mathrm {d} s}
Definición
Las funciones de Fresnel son funciones especiales , definidas por las integrales asociadas y la expansión de series enteras :
S(X)=∫0Xpecado(t2)Dt=∑no=0∞(-1)noX4no+3(2no+1)!(4no+3),{\ Displaystyle S (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ sin (t ^ {2}) \, \ mathrm {d} t = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} ( -1) ^ {n} {\ frac {x ^ {4n + 3}} {(2n + 1)! (4n + 3)}},}
VS(X)=∫0Xporque(t2)Dt=∑no=0∞(-1)noX4no+1(2no)!(4no+1).{\ Displaystyle C (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ cos (t ^ {2}) \, \ mathrm {d} t = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} ( -1) ^ {n} {\ frac {x ^ {4n + 1}} {(2n)! (4n + 1)}}.}
Estas funciones a veces se definen con el argumento en las integrales que definen S ( x ) y C ( x ) . Luego, las integrales se multiplican por y los integrandos se dividen por x .
π2t2{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} t ^ {2}}2π{\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}}}
La fórmula de Fresnel vista anteriormente es, por lo tanto, el límite en + ∞ de las dos funciones no normalizadas
S y C.
Cálculo de la integral de Fresnel
Por una integral de parámetro
Considere para cualquier real la función de ℝ + en ℂ definida por
t{\ Displaystyle t}
tu↦mi-(tu2+I)t2tu2+I.{\ Displaystyle u \ mapsto {\ mathrm {e} ^ {- (u ^ {2} + \ mathrm {i}) t ^ {2}} \ over u ^ {2} + \ mathrm {i}}.}
Esta función es integrable, porque es continua en ℝ + y aumentada en módulo por , que es integrable en + ∞ .
tu↦1tu2{\ Displaystyle u \ mapsto {\ tfrac {1} {u ^ {2}}}}
Por tanto, es posible configurar la función definida para todo por el siguiente parámetro integral :
F{\ Displaystyle f}t{\ Displaystyle t}
F(t)=∫0+∞mi-(tu2+I)t2tu2+I Dtu.{\ Displaystyle f (t) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- (u ^ {2} + \ mathrm {i}) t ^ {2} }} {u ^ {2} + \ mathrm {i}}} ~ \ mathrm {d} u.}
Demostramos que es continua sobre ℝ y cero en el infinito, y que es de clase C 1 sobre ℝ + * con
F{\ Displaystyle f}
∀t∈R+∗, F′(t)=-2tmi-It2∫0+∞mi-tu2t2Dtu.{\ Displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} ^ {+ *}, ~ f '(t) = - 2t \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- u ^ {2} t ^ {2}} \ mathrm {d} u.}
Demostración
Aplicamos el teorema de la convergencia dominada .
- Continuidad sobre ℝ y nulidad en el infinito
- Para todo u ∈ ℝ + *, la funciónR→VS, t↦mi-(tu2+I)t2tu2+I{\ Displaystyle \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {C}, \ t \ mapsto {\ mathrm {e} ^ {- (u ^ {2} + \ mathrm {i}) t ^ {2}} \ over u ^ {2} + \ mathrm {i}}} es continuo y cero en el infinito.
- Para todo real t , la funciónR+→VS, tu↦mi-(tu2+I)t2tu2+I{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {C}, \ u \ mapsto {\ mathrm {e} ^ {- (u ^ {2} + \ mathrm {i}) t ^ {2 }} \ over u ^ {2} + \ mathrm {i}}}es, por tanto, continua mensurable .
- Condición de dominación: ∀(t,tu)∈R×R+, |mi-(tu2+I)t2tu2+I|≤11+tu4{\ Displaystyle \ forall (t, u) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {+}, ~ \ left | {{\ mathrm {e} ^ {- (u ^ {2} + \ mathrm {i}) t ^ {2}}} \ over {u ^ {2} + \ mathrm {i}}} \ right | \ leq {\ frac {1} {\ sqrt {1 + u ^ {4 }}}}}y la función es integrable en ℝ + .tu↦11+tu4{\ Displaystyle u \ mapsto {\ tfrac {1} {\ sqrt {1 + u ^ {4}}}}}
- Conclusión: es continuo sobre ℝ y cero en el infinito.F{\ Displaystyle f}
- Clase C 1 sobre ℝ + * y valor de la derivada.
- Para todo u ∈ ℝ + , la funciónR+∗→VS, t↦mi-(tu2+I)t2tu2+I{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+ *} \ rightarrow \ mathbb {C}, \ t \ mapsto {\ mathrm {e} ^ {- (u ^ {2} + \ mathrm {i}) t ^ { 2}} \ over u ^ {2} + \ mathrm {i}}} es diferenciable y su derivada, R+∗→VS, t↦-2tExp[-(tu2+I)t2],{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+ *} \ rightarrow \ mathbb {C}, \ t \ mapsto -2t \ exp {[- (u ^ {2} + \ mathrm {i}) t ^ {2} ]},} es continuo.
- Para todo t ∈ ℝ + *, la funciónR+→VS, tu↦-2tExp[-(tu2+I)t2]{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {C}, \ u \ mapsto -2t \ exp {[- (u ^ {2} + \ mathrm {i}) t ^ {2}] }} es medible.
- Condición de dominación: limitar el parámetro al intervalo con .t{\ Displaystyle t}]a,B[{\ Displaystyle] a, b [}0<a<B{\ Displaystyle 0 <a <b}∀(t,tu)∈]a,B[×R+, |-2tExp[-(tu2+I)t2]|≤2B mi-tu2a2{\ Displaystyle \ forall (t, u) \ in] a, b [\ times \ mathbb {R} ^ {+}, ~ \ left | -2t \ exp {[- (u ^ {2} + \ mathrm { i}) t ^ {2}]} \ right | \ leq 2b ~ \ mathrm {e} ^ {- u ^ {2} a ^ {2}}} y la función tu↦2B mi-tu2a2{\ Displaystyle u \ mapsto 2b ~ \ mathrm {e} ^ {- u ^ {2} a ^ {2}}}es integrable en ℝ + .
- Conclusión: es de clase en ℝ + * yF{\ Displaystyle f}VS1{\ Displaystyle C ^ {1}}
∀t∈R+∗, F′(t)=-2tmi-It2∫0+∞mi-tu2t2Dtu.{\ Displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} ^ {+ *}, ~ f '(t) = - 2t \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- u ^ {2} t ^ {2}} \ mathrm {d} u.}
Simplificando la expresión para e integrándola de 0 a + ∞ , deducimos que
F′{\ displaystyle f '}
∫0+∞mi-It2 Dt=1π∫0+∞1tu2+I Dtu.{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {u ^ {2} + \ mathrm {i}}} ~ \ mathrm {d} u.}
Demostración
El cambio de la variable v = ut da, para todo t ∈ ℝ + *:
F′(t)=-2mi-It2∫0+∞mi-v2 Dv.{\ Displaystyle f '(t) = - 2 \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- v ^ {2}} ~ \ mathrm {d} v.}
La integral definida es la integral gaussiana , que es válida . Por lo tanto, tenemos una expresión más simple para la derivada de :
π2{\ Displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}F{\ Displaystyle f}
F′(t)=-πmi-It2{\ Displaystyle f '(t) = - {\ sqrt {\ pi}} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}}}.
En consecuencia :
0-∫0+∞1tu2+I Dtu=(limt→+∞F(t))-F(0)=∫0+∞F′(t) Dt=-π∫0+∞mi-It2 Dt.{\ Displaystyle 0- \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {u ^ {2} + \ mathrm {i}}} ~ \ mathrm {d} u = \ left (\ lim _ {t \ to + \ infty} f (t) \ right) -f (0) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f '(t) ~ \ mathrm {d} t = - {\ sqrt {\ pi}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} ~ \ mathrm {d} t.}
Luego usamos la expresión en la forma y una integral clásica:
1tu2+I{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {u ^ {2} + \ mathrm {i}}}}tu2-Itu4+1{\ Displaystyle {\ tfrac {u ^ {2} - \ mathrm {i}} {u ^ {4} +1}}}
∫0+∞tu2tu4+1 Dtu=∫0+∞1tu4+1 Dtu=π22{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {u ^ {2} \ over u ^ {4} +1} ~ \ mathrm {d} u = \ int _ {0} ^ {+ \ infty } {1 \ over u ^ {4} +1} ~ \ mathrm {d} u = {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {2}}}}}
para deducir eso
∫0+∞mi-It2 Dt=π21-I2{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} ~ \ mathrm {d} t = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} {\ dfrac {1- \ mathrm {i}} {2}}}.
Demostración
De lo anterior, con y .
∫0+∞mi-It2 Dt=I-IJπ{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {I- \ mathrm {i} J} {\ sqrt {\ pi}}}}I=∫0+∞tu2tu4+1 Dtu{\ Displaystyle I = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u ^ {2}} {u ^ {4} +1}} ~ \ mathrm {d} u}J=∫0+∞1tu4+1 Dtu{\ Displaystyle J = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {1 \ over u ^ {4} +1} ~ \ mathrm {d} u}
Pero por un lado (por el cambio de variable ) y por otro lado,
I=J{\ Displaystyle I = J} v=1/tu{\ Displaystyle v = 1 / u}
2(tu2+1)tu4+1=1tu2-tu2+1+1tu2+tu2+1{\ Displaystyle {\ frac {2 (u ^ {2} +1)} {u ^ {4} +1}} = {\ frac {1} {u ^ {2} -u {\ sqrt {2}} +1}} + {\ frac {1} {u ^ {2} + u {\ sqrt {2}} + 1}}}por tanto (cf. Primitivas de funciones racionales )
2(I+J)=2[arctan(tu2-1)+arctan(tu2+1)]0+∞=π2{\ Displaystyle 2 (I + J) = {\ sqrt {2}} \ left [\ arctan (u {\ sqrt {2}} - 1) + \ arctan (u {\ sqrt {2}} + 1) \ derecha] _ {0} ^ {+ \ infty} = \ pi {\ sqrt {2}}}.
Por lo tanto, y .
I=J=π22{\ Displaystyle I = J = {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {2}}}}}∫0+∞mi-It2 Dt=1-Iππ22=π21-I2{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {1- \ mathrm {i}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {2}}}} = {\ sqrt {\ dfrac {\ pi} {2}}} {\ dfrac {1- \ mathrm {i}} {2}}}
Por integración compleja
También es posible integrar vértices en el borde del sector circular para luego tender hacia el infinito.
F(z)=Exp(-z2){\ Displaystyle f (z) = \ exp (-z ^ {2})} TR{\ Displaystyle T_ {R}}0, R, 12(1+I) R{\ Displaystyle 0, ~ R, ~ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (1+ \ mathrm {i}) ~ R}R{\ Displaystyle R}
∮F(z)Dz=∫0Rmi-t2Dt⏟I1(R)+∫0π/4IRmiItmi-R2Exp(2It)Dt⏟I2(R)-∫0RmiIπ4mi-It2Dt⏟I3(R){\ Displaystyle \ unint f (z) \, \ mathrm {d} z = \ underbrace {\ int _ {0} ^ {R} \ mathrm {e} ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm { d} t} _ {I_ {1} (R)} + \ underbrace {\ int _ {0} ^ {\ pi / 4} \ mathrm {i} R \, \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i } t} \, \ mathrm {e} ^ {- R ^ {2} \ exp (2 \ mathrm {i} t)} \, \ mathrm {d} t} _ {I_ {2} (R)} - \ underbrace {\ int _ {0} ^ {R} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}} \, \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm { i} t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t} _ {I_ {3} (R)}}Echemos un vistazo .
I2{\ Displaystyle I_ {2}}
|I2(R)|≤∫0π/4Rmi-R2porque(2t)Dt=∫0π/2R2mi-R2porquetuDtu{\ Displaystyle | I_ {2} (R) | \ leq \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} R \, \ mathrm {e} ^ {- R ^ {2} \ cos (2t)} \ , \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ dfrac {R} {2}} \, \ mathrm {e} ^ {- R ^ {2} \ cos u} \, \ mathrm {d} u}después de un cambio de variable . Ahora, adelante , la concavidad de da
tu=2t{\ Displaystyle u = 2t}[0,π2]{\ Displaystyle \ left [0, {\ dfrac {\ pi} {2}} \ right]}porque{\ Displaystyle \ cos}
∀tu∈[0,π2],1-2πtu≤porquetu≤1{\ Displaystyle \ forall u \ in \ left [0, {\ dfrac {\ pi} {2}} \ right], \ quad 1 - {\ dfrac {2} {\ pi}} u \ leq \ cos u \ leq 1}Entonces
∀tu∈[0,π2],mi-R2porquetu≤miR2(2πtu-1){\ Displaystyle \ forall u \ in \ left [0, {\ dfrac {\ pi} {2}} \ right], \ quad \ mathrm {e} ^ {- R ^ {2} \ cos u} \ leq \ , \ mathrm {e} ^ {R ^ {2} \ left ({\ frac {2} {\ pi}} u-1 \ right)}}Entonces
∫0π/2R2mi-R2porquetuDtu≤π4R(1-mi-R2){\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ dfrac {R} {2}} \, \ mathrm {e} ^ {- R ^ {2} \ cos u} \, \ mathrm { d} u \ leq {\ dfrac {\ pi} {4R}} \ left (1- \ mathrm {e} ^ {- R ^ {2}} \ right)}El teorema de los gendarmes da así . Con el resultado de la integral de Gauss , . Además ,.
limR→+∞I2(R)=0{\ Displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} I_ {2} (R) = 0}limR→+∞I1(R)=π2{\ Displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} I_ {1} (R) = {\ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}limR→+∞I3(R)=miIπ4∫0+∞mi-It2Dt{\ Displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow + \ infty} I_ {3} (R) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}} \ int _ { 0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t}
La función es completa, por lo tanto, el teorema integral de Cauchy asegura que
F{\ Displaystyle f}∮F(z)Dz=0.{\ Displaystyle \ unint f (z) \, \ mathrm {d} z = 0.}
Desde entonces,
miIπ4∫0+∞mi-It2Dt=π2{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm { i} t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t = {\ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}Entonces
∫0+∞mi-It2Dt=mi-Iπ4π2=π21-I2{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t = \ mathrm {e} ^ { - \ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}} {\ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2}} = {\ sqrt {\ dfrac {\ pi} {2}}} { \ dfrac {1- \ mathrm {i}} {2}}}.
Nota
Un cálculo idéntico muestra que, de manera más general, para cualquier número complejo cuya
parte real pertenezca ,
β{\ Displaystyle \ beta}[0,1[{\ Displaystyle \ left [0,1 \ right [}
∫0+∞tβmi-It2Dt=mi-Iπ4(β+1)Γ(β+12)2,{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t ^ {\ beta} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}} (\ beta +1)} {\ dfrac {\ Gamma \ left ({\ frac {\ beta +1} {2 }} \ right)} {2}},}
donde denota la
función gamma . Adaptando la elección del contorno, incluso podemos demostrar esta igualdad para , que, cambiando la variable (
ver arriba ), equivale al cálculo del
§ “Ejemplo” del artículo sobre el teorema de la integral de Cauchy .
Γ{\ Displaystyle \ Gamma}Rmi(β)∈]-1,1[{\ Displaystyle \ mathrm {Re} (\ beta) \ in \ left] -1,1 \ right [}
Por coordenadas polares y el teorema de Fubini
Referencia
-
D. Ghorbanzadeh y col. , Matemáticas de señales: recordatorios de lecciones y ejercicios resueltos , Dunod ,2008, 3 e ed. ( leer en línea ) , pág. 6-7.
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