Ecuaciones de weingarten

En geometría diferencial , en particular en geometría diferencial de superficies , las ecuaciones de Weingarten dan una expansión de la derivada del vector unitario normal a una superficie en función de las primeras derivadas del vector de posición en esta superficie. Fueron establecidos en 1861 por el matemático alemán Julius Weingarten (de) .

Declaración en geometría diferencial clásica

Sea S una superficie en el espacio euclidiano de dimensión 3, parametrizada por un vector de posición r ( u , v ). Sea P = P ( u , v ) un punto dado en esta superficie. Entonces los dos vectores

{\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {u} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial u}}, \ quad \ mathbf {r} _ {v} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial v}}}

formar una base del plano vector tangente a S en el punto P .

Sea n el vector unitario normal a S en P obtenido al dividir el producto cruzado por su norma, y sean ( E , F , G ) y ( L , M , N ) los coeficientes respectivos de la primera y segunda forma fundamental de esta superficie. Las ecuaciones de Weingarten expresan las derivadas parciales de n como combinaciones lineales de estos dos vectores tangentes r u y r v : ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u} \ wedge \ mathbf {r} _ {v}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {u} = {\ frac {FM-GL} {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {u} + {\ frac {FL-EM} { EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {v}}

{\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {v} = {\ frac {FN-GM} {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {u} + {\ frac {FM-EN} { EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {v}}

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Ecuaciones de Weingarten " ( consulte la lista de autores ) .
(en) Eric W. Weisstein , " Ecuaciones de Weingarten " , en MathWorld
(en) AB Ivanov, “fórmulas derivadas de Weingarten” , en Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics , Springer,2001( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
(en) Erwin Kreyszig , Geometría diferencial , Dover, 1991 ( ISBN 0-486-66721-9 ) , sección 45.