Ecuación de Fokker-Planck

La ecuación de Fokker-Planck ( ecuación de Fokker-Planck o FPE ) es una ecuación diferencial parcial lineal que debe satisfacer la densidad de probabilidad de transición de un proceso de Markov . Originalmente, una forma simplificada de esta ecuación hizo posible estudiar el movimiento browniano . Como la mayoría de las ecuaciones diferenciales parciales, solo da soluciones explícitas en casos muy específicos relacionados tanto con la forma de la ecuación como con la forma del dominio en el que se estudia (las condiciones que reflejan o absorben las partículas brownianas y la forma del espacio en el que están confinados, por ejemplo). Recibe su nombre en honor a Adriaan Fokker y Max Planck , los primeros físicos que lo propusieron.

Ecuación

Esta ecuación se refiere a un proceso de Markov , un proceso estocástico que tiene la propiedad de Markov : la probabilidad de que aparezca un estado del sistema en un instante dado depende únicamente de su historia más reciente. Así, el proceso se caracteriza por una probabilidad de transición entre dos estados acompañada de una condición inicial.

Para evitar inconsistencias, la probabilidad de transición debe satisfacer una condición de compatibilidad que se expresa mediante una ecuación integral llamada ecuación de Chapman-Kolmogorov-Smoluchowski. Esto significa que, dados tres estados sucesivos, la transición del estado 1 al estado 3 se obtiene haciendo la transición de 1 a 2, luego la transición de 2 a 3. Si el proceso es estacionario, se obtiene la densidad de probabilidad del proceso. alargando la duración de la transición al infinito.

La ecuación integral se transforma en una ecuación diferencial parcial según un método definido por Wang y Uhlenbeck. La ecuación que se presenta a continuación, limitada al segundo orden, no es la más general.

En una dimensión, la ecuación de Fokker Planck con un coeficiente de difusión D 2 ( x , t ) y la tendencia (una deriva) D 1 ( x , t ) se escribe:

{\ Displaystyle {\ frac {\ Partical} {\ Partical t}} P (x, t) = - {\ frac {\ Partical} {\ Partical x}} \ left [D_ {1} (x, t) P (x, t) \ right] + {1 \ over 2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left [D_ {2} (x, t) P ( x, t) \ derecha].}

P es la probabilidad de encontrar la partícula en el punto xy en el tiempo t.

En el caso más general con N variables, la densidad de probabilidad conjunta satisface la ecuación:

{\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} = - \ suma _ {{i = 1}} ^ {{N}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {i}}} \ izquierda [D_ {i} ^ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) f \ right] + {1 \ over 2} \ sum _ {{i = 1}} ^ {{N}} \ sum _ {{j = 1}} ^ {{N}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {i} \, \ parcial x_ {j}}} \ left [D _ { {ij}} ^ {2} (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) f \ right],

donde está el vector de deriva y el tensor de difusión. $D ^ {1}$ $D ^ {2}$

Caso de movimiento browniano

En el caso de un movimiento de una partícula y en el marco de la ecuación de Smoluchowski que se refiere a partículas como , típicamente moléculas, u objetos de masa "despreciable" (moléculas atmosféricas, proteínas en biología ...): $\ gamma v \ gg ma$

{\ Displaystyle \ gamma {\ dot {X}} + F (X) = \ sigma B}

donde B es ruido blanco , el coeficiente de viscosidad y F (x) un campo de fuerza. Si p (x, t) es la probabilidad de encontrar la partícula en el punto x en el tiempo t, mediante la aplicación del lema de Itô tenemos: $\ estilo de texto \ gamma$

{\ Displaystyle {\ frac {\ Particular p (x, t)} {\ Particular t}} = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ gamma ^ {2}}} \ Delta p (x, t) + \ nabla \ left ({\ frac {F (x)} {\ gamma}} p (x, t) \ right)}

donde el coeficiente de difusión . $\ textstyle {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ gamma ^ {2}}} = D$

Esta ecuación particular de Fokker-Planck hace posible, con condiciones de origen y de frontera adecuadas, estudiar el movimiento browniano de una partícula en un campo de fuerza.

Caso de sistemas dinámicos no lineales

Recordatorio sobre sistemas lineales y linealizables

Encontrar la respuesta de un sistema dado a una excitación es un problema común en física y en diversas técnicas. Esta respuesta se define generalmente por una ecuación diferencial o más generalmente por un sistema diferencial con varias variables. En aras de la simplicidad, nos ceñiremos a una ecuación clásica de segundo orden, esta ecuación corresponde en particular a las oscilaciones de un sistema mecánico provisto de una fuerza restauradora y una amortiguación (ver Sistemas oscilantes con cierto grado de libertad ).

El problema más común es la excitación sinusoidal. Si la ecuación es lineal, la respuesta es en sí misma sinusoidal. Por el contrario, cuando contiene términos no lineales, en general, solo se pueden encontrar soluciones aproximadas: soluciones numéricas, buscar una aproximación sinusoidal por la linealización equivalente o expansión en una serie de sinusoides por el método de perturbación.

A veces también encontramos ecuaciones diferenciales estocásticas en las que la excitación está representada por un proceso aleatorio que es aproximadamente un conjunto de funciones con las mismas propiedades estadísticas. En estas condiciones, la solución es también un proceso aleatorio caracterizado por una densidad de probabilidad que se refiere, para el segundo orden, a las excursiones y las velocidades. Si nos limitamos a una excitación gaussiana, la respuesta que da una ecuación lineal también es gaussiana y se puede determinar mediante técnicas de descripción espectral .

Sistemas no lineales excitados por ruido blanco

En el caso general, un sistema mecánico con un grado de libertad se describe mediante una ecuación diferencial de la forma

m {\ ddot {X}} + g (X, {\ dot {X}}) = F (t)

Si la excitación puede considerarse como la realización de un proceso aleatorio, hablamos de una ecuación diferencial estocástica cuya solución que representa la excursión es en sí misma un proceso aleatorio . En estas condiciones, conviene introducir el proceso de velocidad , que conduce a dos ecuaciones de primer orden: $F (t) \,$ $X (t) \,$ $U (t) \,$

{\ dot {X}} = U

m {\ dot {U}} + g (X, U) = F (t)

Considerando una pequeña variación en el tiempo, las ecuaciones diferenciales se reemplazan por ecuaciones en diferencias (ver Método de diferencias finitas ): $\ Delta t \,$

X_ {t} = X _ {{t-dt}} + U_ {t} \ Delta t \,

U_ {t} = U _ {{t-dt}} + {1 \ over m} (F_ {t} -g (X_ {t}, U_ {t})) \ Delta t

Si la excitación es ruido blanco gaussiano , una sucesión de pulsos independientes, el estado del sistema depende, por tanto, sólo de lo que estaba sucediendo en el instante anterior. Tiene la propiedad de Markov y una ecuación de Fokker-Planck permite determinar la densidad de probabilidad conjunta del movimiento y la velocidad. La aproximación del ruido blanco es mejor ya que el sistema está menos amortiguado ( resonancia más aguda).

Como la mayoría de las ecuaciones diferenciales parciales, solo da soluciones explícitas en casos muy específicos relacionados tanto con la forma de la ecuación como con la naturaleza de la excitación. El método se aplica en particular a la ecuación que tiene una fuerza de restauración no lineal:

m {\ ddot {X}} + b {\ dot {X}} + h (X) = F (t)

en el que representa un ruido blanco gaussiano de densidad espectral (densidad expresada en unidades al cuadrado por radianes por segundo). $F (t) \,$ $S_ {0} \,$

La densidad de probabilidad conjunta de la excursión y la velocidad se escribe

p _ {{X {\ dot {X}}}} (x, {\ dot {x}}) = Ce ^ {{- {b {\ mathcal {E}}} / {\ pi S_ {0}} }}

En esta fórmula, es la energía total del sistema no amortiguado. La densidad de probabilidad de la velocidad sigue siendo gaussiana mientras que la de la excursión ya no lo es. Obviamente, vuelve a serlo cuando la función es lineal. ${\ mathcal {E}} = {1 \ over 2} \, m \, {{\ dot {x}} ^ {2}} \, + \, \ int _ {0} ^ {x} h (\ xi) d \ xi$ $h \,$

Es notable que esta solución relativamente simple sea exacta mientras que no existe tal cosa para una excitación sinusoidal. Por otro lado, tal solución exacta ya no existe si es la amortiguación la que no es lineal; en este caso hay una solución exacta para una ecuación más abstracta que proporciona una mejor aproximación no lineal que la aproximación lineal.

Referencias

Philippe-André Martin, Física estadística de procesos irreversibles https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092959/document
Ch. Ancey, Simulaciones estocásticas - Aplicaciones a flujos geofísicos y turbulencias, http://www.toraval.fr/articlePDF/stochastique.pdf
I.Kosztin, Mecánica estadística de no equilibrio, capítulo 4: Ecuación de difusión de Smoluchowski, http://www.ks.uiuc.edu/~kosztin/PHYCS498NSM/LectureNotes/chp4.pdf
H. Risken, "La ecuación de Fokker-Planck: métodos de soluciones y aplicaciones", 2ª edición, Springer Series in Synergetics, Springer, ( ISBN 3-540-61530-X ) .
S. Redner: Una guía para los procesos de primer paso. Prensa de la Universidad de Cambridge, (2001)
(en) YK Lin , Teoría probabilística de la dinámica estructural , Nueva York, Robert E. Krieger Publishing Company,Julio de 1976, 368 p. ( ISBN 978-0-88275-377-5 y 0882753770 , LCCN 75042154 )

Thomas L. Paez, Vibraciones aleatorias: Evaluación del estado del arte, http://www.osti.gov/bridge/servlets/purl/3882-OeSEmc/webviewable/3882.pdf
Thomas K. Caughey, Derivación y aplicación de la ecuación de Fokker-Planck para sistemas dinámicos no lineales discretos sometidos a excitación aleatoria blanca, http://authors.library.caltech.edu/4087/01/CAUjasa63a.pdf

Ver también