Elemento neutro
En matemáticas , más precisamente en álgebra , un elemento neutro (o elemento de identidad ) de un conjunto para una ley de composición interna es un elemento de este conjunto que deja todos los demás elementos sin cambios cuando está compuesto con ellos por esta ley. Se dice que un magma con un elemento neutro está unificado .
Definición
O un magma. Se dice un elemento de :
- neutral a la izquierda si ;
- neutral a la derecha si ;
- neutral si es neutral a la derecha y a la izquierda.
Ejemplos de
Un elemento neutral se relaciona con la ley considerada:
- 0 es el elemento neutro de la suma aritmética, así como del binario " o ";
- 1 es el elemento neutro de la multiplicación aritmética, así como del binario " y ";
- La matriz unitaria de orden n es el elemento neutro de la multiplicación de matrices cuadradas de orden n ;
- La palabra vacía es el elemento neutro de la concatenación de cadenas.
Propiedades
- Es posible que el elemento neutro de la izquierda (resp. De la derecha) no sea único. Por ejemplo, considere un conjunto E que contiene al menos dos elementos. Podemos definir una ley G en E por la fórmula G ( x , y ) = x y una ley D por la fórmula D ( x , y ) = y . Para la ley G , cualquier elemento es neutral a la derecha y ninguno es neutral a la izquierda. Para la ley D , cualquier elemento es neutral a la izquierda y ninguno a la derecha.
- Por otro lado, si hay un elemento neutro a la izquierda y un elemento neutro a la derecha, entonces el conjunto admite un único elemento neutro y además, cualquier elemento neutro a la izquierda (resp. A la derecha) es igual a eso. De hecho, para todos los elementos p. Ej. Neutro a la izquierda y e d neutro a la derecha, tenemos: e d = e g e d = e g .
En esta situación - especialmente cuando G es un grupo - el único elemento neutro G se llama comúnmente el neutro de G . - En un grupo , el neutro es el único elemento idempotente , es decir, el único elemento x tal que xx = x .
Notas y referencias
- N. Bourbaki , Álgebra , cap. Yo, p. I-12 .
- Aviva Szpirglas , Álgebra L3: Curso completo con 400 pruebas y ejercicios corregidos [ detalle de la edición ], Parte III: Grupos, Ejemplos 6.2.
- Jean-Pierre Marco y Laurent Lazzarini, Matemáticas L1 , p. 119 , vista previa en Google Books .
- Jean-Marie Monier, Métodos y ejercicios de matemáticas MPSI , p. 213 , vista previa en Google Books .