Triángulos similares

En geometría euclidiana , decimos que dos triángulos son similares si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño.

Entre las múltiples formalizaciones de esta definición intuitiva, las dos más comunes son: dos triángulos son similares:

• si sus lados son proporcionales o, lo que es equivalente,
• si tienen los mismos angulos

"Similar" es una relación de equivalencia.

Propiedades

Cada una de las caracterizaciones a continuación puede servir como una definición de la noción de triángulos similares, porque todos son equivalentes.

1. Dos triángulos son similares si sus lados son proporcionales. Más formalmente: los triángulos y son similares si ABVS{\ Displaystyle ABC}A′B′VS′{\ Displaystyle A'B'C '} ABA′B′=BVSB′VS′=AVSA′VS′{\ Displaystyle {\ frac {AB} {A'B '}} = {\ frac {BC} {B'C'}} = {\ frac {AC} {A'C '}}}.
2. Dos triángulos son similares si al menos dos ángulos geométricos (es decir, no orientados) de uno son iguales a dos ángulos geométricos del otro. Más formalmente: y son similares si ABVS{\ Displaystyle ABC}A′B′VS′{\ Displaystyle A'B'C '}BAVS^=B′A′VS′^yBVSA^=B′VS′A′^{\ displaystyle {\ widehat {BAC}} = {\ widehat {B'A'C '}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ widehat {BCA}} = {\ widehat {B'C' A'}}} (resultando en ).ABVS^=A′B′VS′^{\ displaystyle {\ widehat {ABC}} = {\ widehat {A'B'C '}}}
3. Dos triángulos son similares si dos lados de uno son proporcionales a dos lados del otro y los ángulos entre esos dos lados son iguales.
4. Dos triángulos son similares si dos lados de uno son proporcionales a dos lados del otro y los ángulos opuestos al mayor de los dos lados proporcionales son iguales: ABA′B′=BVSB′VS′yBAVS^=B′A′VS′^{\ Displaystyle {\ frac {AB} {A'B '}} = {\ frac {BC} {B'C'}} \ quad {\ text {y}} \ quad {\ widehat {BAC}} = { \ widehat {B'A'C '}}}
5. Dos triángulos son similares si hay una similitud (es decir, una homotecia , traslación , rotación , simetría ortogonal o un compuesto de tales transformaciones) que transforman uno en el otro.

Casos particulares

• Si los triángulos tienen lados de la misma longitud, decimos que son isométricos .
• Si dos triángulos tienen sus contrapartes paralelas, entonces son triángulos similares y se llaman homotéticos . Cuando los triángulos son homotéticos y tienen un vértice en común, encontramos una configuración de Tales .

Notas y referencias

1. A. JH Vicente, La geometría elemental , Maillet-Bachelier,1856( leer en línea ) , pág.  65-67, da esta definición intuitiva, elige la primera caracterización como una definición formal y demuestra la equivalencia con las dos siguientes.
2. COJEREM, Geometría en situaciones 1a / 4a , De Boeck Education,1995( ISBN  978-2-8041-2230-0 , leer en línea ) , pág.  58.
3. J. Delboeuf, Prolegómenos filosóficos de la geometría y la solución de postulados , J. Desoer,1860( leer en línea ) , pág.  95, protesta contra el hecho de que algunos reemplacen este “o” por un “y”, lo que hace que la definición sea redundante. Este es el caso, por ejemplo, de COJEREM 1995 .
4. A. Merlette, La enciclopedia de las escuelas, revista de educación primaria y profesional ,1863( leer en línea ) , pág.  456.
5. Dany-Jack Mercier, Fundamentos de geometría para competencias: grandes écoles, CAPES, aggregation , Paris, Publibook ,2009, 181  p. ( ISBN  978-2-7483-4965-8 , leer en línea ) , pág.  172-176, elige la cuarta caracterización como definición y demuestra la equivalencia con las anteriores.
6. En el plano, cuando dos triángulos son similares, existe incluso una similitud de un solo plano que transforma uno en el otro.

Ver también

Geometría no euclidiana