Triángulo de Kepler

Un triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo cuyos cuadrados de las longitudes de los lados están en progresión geométrica de acuerdo con la razón de la proporción áurea . Las relaciones laterales son $1:$ $\sqrt$ $φ$ $:$ $φ$ (aproximadamente 1: 1.272: 1.618). ${\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

Los triángulos con tales propiedades llevan el nombre del matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), quien demostró por primera vez que este triángulo se caracteriza por una proporción entre el lado corto y la hipotenusa igual a la proporción áurea. Estos triángulos combinan el teorema de Pitágoras y la proporción áurea , nociones que fascinaron a Kepler.

Particularidad : en estos triángulos son concurrentes una altura, una mediana y una bisectriz. ( altura relativa a la hipotenusa, mediana relativa al lado corto del ángulo recto y bisectriz relativa al otro lado del ángulo recto )

Ortogonalidad

El hecho de que un triángulo de lados $1$ , $\sqrt φ$ y $φ$ forme un triángulo rectángulo proviene de la propiedad de la $proporción$ áurea $φ$ :

{\ Displaystyle \ varphi ^ {2} = \ varphi +1}

que podemos reescribir:

{\ Displaystyle (\ varphi) ^ {2} = ({\ sqrt {\ varphi}}) ^ {2} + (1) ^ {2}.}

Lo contrario del teorema de Pitágoras nos permite deducir que este triángulo tiene un ángulo recto.

Relación con los medios aritméticos, armónicos y geométricos.

Para dos números reales positivos, su media aritmética , su media geométrica y su media armónica son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo si y solo si es un triángulo de Kepler.

Construcción

El triángulo de Kepler se puede construir con una regla y un compás creando primero un rectángulo áureo :

construye un cuadrado;
dibuje un segmento que conecte el punto medio de un lado del cuadrado con un vértice en el lado opuesto;
utilice este segmento como radio para dibujar un arco que determine la longitud del rectángulo;
completa el rectángulo dorado;
use el lado más largo de este rectángulo para dibujar un arco que cruce el lado opuesto del rectángulo;
use este punto de intersección para la hipotenusa del triángulo de Kepler.

Kepler lo construyó de manera diferente, según una carta a su antiguo maestro Michael Maestlin .

Una coincidencia matemática

Sea un triángulo de Kepler con lados de longitudes $a , a \sqrt φ, aφ$ . Consideramos :

el círculo circunscrito a este triángulo
un cuadrado de lado de longitud igual al lado de longitud intermedia del triángulo.

Vemos que los perímetros del cuadrado ( $4 a \sqrt φ$ ) y del círculo ( $a π φ$ ) son iguales a menos del 0,1%.

Esta es la coincidencia matemática . El cuadrado y el círculo no pueden tener exactamente el mismo perímetro, porque de lo contrario sería una solución al problema clásico de cuadrar el círculo , que es imposible de resolver porque $π$ es un número trascendente . ${\ Displaystyle \ pi \ approx {4 \ over {\ sqrt {\ varphi}}}}$

Las pirámides de egipto

Según algunas fuentes, el triángulo de Kepler aparece en el diseño de las pirámides de Egipto. Sin embargo, es poco probable que los antiguos egipcios conocieran la $proporción$ áurea nombre y mucho menos la usaran en sus edificios.

Notas y referencias

(en) Roger Herz-Fischler , La forma de la Gran Pirámide , Wilfrid Laurier University Press,2000, 293 p. ( ISBN 0-88920-324-5 , leer en línea ).
(en) Mario Livio , La proporción áurea: La historia de la phi, número asombroso mayoría del mundo , Nueva York, Broadway Books,2002, 149 p. ( ISBN 0-7679-0815-5 ).
(in) Angelo Di Domenico, "La proporción áurea: el triángulo rectángulo y los medios aritméticos, geométricos y armónicos", The Mathematical Gazette, número 89, 2005.
(en) Paul Calter, Cuadrando el círculo .
(en) Mark Herkommer, La Gran Pirámide, El Gran Descubrimiento y La Gran Coincidencia .
(en) George Markowsky , " Conceptos erróneos sobre la proporción áurea " , College Mathematics Journal , Asociación Matemática de América, vol. 23, n o 1,Enero de 1992, p. 2 a 19 ( DOI 10.2307 / 2686193 , JSTOR 2686193 , leer en línea [PDF] ) :
“ No parece que los egipcios siquiera supieran de la existencia de φ y mucho menos lo incorporaron en sus edificios. "

Ver también

Crédito de autor

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Triángulo de Kepler " ( ver la lista de autores ) .