Significado geometrico

En matemáticas , la media geométrica es un tipo de media .

Definición elemental

La media geométrica de dos números positivos $a$ y $b$ es el número positivo $c$ tal que:

{\ Displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {c} {b}}}

Interpretación geométrica

Geométricamente, este número $c$ es el lado de un cuadrado cuya área es la misma que la del rectángulo de lados $una$ y $b$ , ya que en este caso:

c ^ {2} = ab.

Podemos calcular directamente la media geométrica de dos números tomando la raíz cuadrada de la expresión anterior:

c = {\ sqrt {ab}} = (ab) ^ {{1/2}}.

Generalización

Estuche discreto

En esta última forma, vemos que el logaritmo (en cualquier base) transforma la expresión en una media aritmética: (a condición de que $una$ y $b$ no son cero, el logaritmo no está definido en 0). ${\ Displaystyle \ log c = {\ frac {\ log a + \ log b} {2}}}$

De ahí la generalización: la media geométrica de una serie estadística cuantitativa positiva distinta de cero se define de forma que su logaritmo sea la media aritmética de los logaritmos de los valores de la serie.

Su formulación se puede realizar de la siguiente manera:

\ log {\ bar x} = {\ frac {\ log x_ {1} + \ log x_ {2} + \ ldots + \ log x_ {n}} n} = {1 \ over n} \ sum _ {{ i = 1}} ^ {n} \ log x_ {i}.

Podemos deducir:

{\ bar x} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ ldots \ times x_ {n}}} = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {{i = 1}} ^ {n} {x_ {i}}}}.

Para una serie estadística cuyo número total de ocurrencias es infinito o desconocido, pero cuyo número de posibles valores positivos distintos de cero es finito y se conocen sus respectivas frecuencias en la serie, la formulación matemática se convierte en:

{\ Displaystyle \ log {\ bar {x}} = {\ frac {f_ {1} \ log x_ {1} + f_ {2} \ log x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ log x_ { n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i} \ log x_ {i }}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}}, \ quad \ mathrm {con} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i }} = 1.}

Deducimos (usando por ejemplo el logaritmo natural ):

{\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ exp \ left ({\ frac {f_ {1} \ ln x_ {1} + f_ {2} \ ln x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ ln x_ {n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} \ right) = \ exp \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n } f_ {i} \ ln x_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}} \ right),}

de donde :

{\ bar x} = {x_ {1}} ^ {{f_ {1}}} \ times {x_ {2}} ^ {{f_ {2}}} \ times \ ldots \ times {x_ {n}} ^ {{f_ {n}}} = \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} {{x_ {i}} ^ {{f_ {i}}}}.

Caso continuo

La media geométrica de una distribución $f$ de una variable continua con valor en un intervalo escalar finito $[ x 0 , x 1 ]$ es la generalización en el límite de la fórmula estadística discreta anterior:

\ log {{\ bar f} _ {{x_ {0}}} ^ {{x_ {1}}}} = \ int _ {{x_ {0}}} ^ {{x_ {1}}} {\ log xf (x) ~ {\ mathrm d} x},

de donde :

{\ displaystyle {\ bar {f}} _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} \ ln xf ( x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {con} \ quad \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1 .}

Su dimensión no es una frecuencia, sino la de su variable continua.

Si la distribución $f$ se define sobre todos los valores reales de su variable continua, la media geométrica de la distribución es:

{\ Displaystyle {\ bar {f}} = \ exp \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ ln xf (x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {con} \ quad \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1.}

Interesar

Para los estadísticos, la media geométrica ( antilogaritmo de la media de los logaritmos de cada observación) es menos sensible que la media aritmética en los valores más altos de una serie de datos. Por lo tanto, proporciona otra y mejor estimación de la tendencia central de los datos en el caso de una distribución de cola larga en el extremo superior de la curva (tipo de distribución frecuente en medidas de salud o ambientales, por ejemplo, de tóxicos en el cuerpo, la sangre o el medio ambiente). , donde determinados individuos o grupos vulnerables o expuestos a casos particulares se ven más afectados).

Ver también

Root Mean Square : Basado en la media aritmética de los cuadrados .
Media : presentación de otras medias
Estadístico : la media aritmética es un estimador insesgado de la expectativa.
Desigualdad aritmético-geométrica