Teorema japonés para cuadriláteros grabables
En geometría , el teorema japonés para cuadriláteros dice que los centros de círculos inscritos de triángulos de un cuadrilátero escribible son los vértices de un rectángulo.
Al dibujar las diagonales del cuadrilátero , obtenemos cuatro triángulos (cada diagonal crea dos triángulos). Los centros de los círculos inscritos en estos triángulos forman un rectángulo.
Estados
Sea cualquier cuadrilátero escribible y los respectivos centros de los círculos inscritos en los triángulos .
ABVSD{\ Displaystyle ABCD}
METRO1,METRO2,METRO3,METRO4{\ Displaystyle M_ {1}, M_ {2}, M_ {3}, M_ {4}}
ABD,ABVS,BVSD,AVSD{\ Displaystyle ABD, ABC, BCD, ACD}![{\ Displaystyle ABD, ABC, BCD, ACD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf46b8ea84f229193113399b6888219379e19cbb)
Entonces el cuadrilátero es un rectángulo.
METRO1METRO2METRO3METRO4{\ Displaystyle M_ {1} M_ {2} M_ {3} M_ {4}}![{\ Displaystyle M_ {1} M_ {2} M_ {3} M_ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2118b9b90d896368aa54e69436ef8cc151b3f0)
Principio de la demostración
La demostración se basa en dos propiedades de los ángulos:
- En un triángulo ABC cuyo centro del círculo inscrito es O, el ángulo BOC es igual a la mitad del ángulo BAC aumentado en un ángulo recto,
- La propiedad de los ángulos inscritos para puntos cocíclicos.
Luego probamos que los puntos y son cocíclicos, así como y , etc. Luego demostramos que el ángulo es recto escribiéndolo usando los ángulos y .
A,B,METRO1{\ Displaystyle A, B, M_ {1}}
METRO2{\ Displaystyle M_ {2}}
A,D,METRO1{\ Displaystyle A, D, M_ {1}}
METRO4{\ Displaystyle M_ {4}}
METRO2METRO1METRO4{\ Displaystyle M_ {2} M_ {1} M_ {4}}
METRO2METRO1A{\ Displaystyle M_ {2} M_ {1} A}
METRO4METRO1A{\ Displaystyle M_ {4} M_ {1} A}![{\ Displaystyle M_ {4} M_ {1} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6389434c53b8b2a6dffd6c574b13fd20cfa64d0b)
Extensión
Este teorema es un paso en la demostración de un teorema más general, relativo a los radios de los círculos inscritos, el
teorema japonés que establece dentro del marco de este cuadrilátero, que la suma de los radios de los círculos inscritos de centro y es igual a la suma de los radios de los círculos de centros inscritos y . Para probar el caso de los cuadriláteros escribibles, es necesario construir el paralelogramo cuyos lados pasan por los vértices del rectángulo mientras son paralelos a las diagonales del cuadrilátero. Luego probamos que el paralelogramo obtenido es un rombo, usando los
ángulos alternos internos y la cociclicidad de los puntos y , etc. Las distancias entre los lados opuestos de este rombo son, por tanto, iguales, lo que equivale a decir que la suma de los radios de los círculos inscritos tangentes a cada diagonal es igual.
METRO1{\ Displaystyle M_ {1}}
METRO3{\ Displaystyle M_ {3}}
METRO2{\ Displaystyle M_ {2}}
METRO4{\ Displaystyle M_ {4}}
A,B,METRO1{\ Displaystyle A, B, M_ {1}}
METRO2{\ Displaystyle M_ {2}}![M_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5d4dffae5ee0db4cc433e252ee9ed7530e5cf0)
El caso del cuadrilátero demuestra inmediatamente el caso general al triangular un polígono.
Ver también
Artículos relacionados
enlaces externos
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Teorema japonés para cuadriláteros cíclicos " ( consulte la lista de autores ) .
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