Teorema de Carnot japonés

El teorema japonés de Carnot es un teorema de geometría euclidiana debido a Lazare Nicolas Marguerite Carnot , relacionado con una igualdad algebraica de distancias en una construcción utilizando el círculo inscrito y el círculo circunscrito a un triángulo .

Historia

En 1800, un samurái anónimo colgó en la pared de un templo una tablilla de madera en la que estaba grabado un sangaku , un problema de geometría dedicado a una deidad (un kami ) y propuesto a la sagacidad de los fieles. En 1803, Carnot publicó su Géométrie de position . Casualidad de la historia, un teorema de este trabajo permite resolver elegantemente el sangaku antes mencionado .

Estados

Teorema de Carnot.  -  Dado un triángulo ABC y el círculo circunscrito de centro A y de radio R . La suma de las distancias "firmadas" desde el centro D hasta los lados del triángulo viene dada por:

FD¯+GRAMOD¯+HD¯=R+r{\ Displaystyle {\ overline {FD}} + {\ overline {GD}} + {\ overline {HD}} = R + r}

donde r es el radio del círculo inscrito en el triángulo y F , G , H las proyecciones ortogonales de D respectivamente en los lados [ AC ], [ AB ] y [ BC ].

Demostración .

Triángulo obtuso	Triángulo agudo
|GRAMOD¯|+|HD¯|-|FD¯|=|AD¯|+|miI¯|=R+r{\ Displaystyle \ scriptstyle | {\ overline {GD}} | + | {\ overline {HD}} | - | {\ overline {FD}} | = | {\ overline {AD}} | + | {\ overline { EI}} | = R + r}	|GRAMOD¯|+|HD¯|+|FD¯|=|AD¯|+|miI¯|=R+r{\ Displaystyle \ scriptstyle | {\ overline {GD}} | + | {\ overline {HD}} | + | {\ overline {FD}} | = | {\ overline {AD}} | + | {\ overline { EI}} | = R + r}

Notas y referencias

• Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo titulado “  Teorema de Carnot  ” (ver la lista de autores ) .

1. Daniel Barthe, “El“ teorema japonés ”de Lazare Carnot”, en Bibliothèque Tangente , Hors série. n ° 24: Los triángulos. Trois points, c'est tout , Pôle Paris, 2005: resumen
2. LNM Carnot , Geometría de posición , JBM Duprat,1803( leer en línea ) , pág.  168
3. (en) Eric W. Weisstein , "  Teorema de Carnot  " en MathWorld
4. (en) A. Bogomolny, Teorema de Carnot sobre cortar el nudo
5. (en) Chris Boucher, "Teorema de Carnot" , Proyecto de demostraciones de Wolfram