Teorema del ángulo inscrito y del ángulo central

En la geometría euclidiana plana , más precisamente en la geometría del círculo , los teoremas del ángulo inscrito y del ángulo en el centro establecen relaciones que unen los ángulos inscritos y los ángulos del centro que interceptan el mismo arco .

El teorema del ángulo central establece que, en un círculo, un ángulo central mide el doble de un ángulo inscrito que intercepta el mismo arco (figura 1 y 2 ). ${\ displaystyle 2 {\ widehat {AMB}} = {\ widehat {AOB}}}$
El teorema del ángulo inscrito es una consecuencia del anterior y establece que dos ángulos inscritos que interceptan el mismo arco de un círculo tienen la misma medida (figura 1).

Hay dos versiones de estos teoremas, una sobre ángulos geométricos y la otra sobre ángulos orientados .

Teorema del ángulo central

Versión de ángulos geométricos

Teorema - Sea M un punto en una Γ círculo de centro O, A y B son dos puntos distintos de M. Si el círculo AMB ángulos AOB interceptar el mismo arco AB a continuación: . ${\ displaystyle 2 {\ widehat {AMB}} = {\ widehat {AOB}}}$

Por lo tanto, hay dos situaciones, una donde el ángulo inscrito del vértice M es agudo , por lo tanto el ángulo en el centro del vértice saliente O (figura 1), la otra donde el ángulo inscrito del vértice M es obtuso , por lo tanto, el ángulo en el centro del vértice reentrante O (figura 2).

Caso particular

El caso de un ángulo inscrito en un semicírculo es el caso particular en el que el ángulo en el centro es un ángulo plano y, por lo tanto, el ángulo inscrito es un ángulo recto.

Versión relativa a ángulos orientados

El enunciado y la prueba de la propiedad son mucho más simples con ángulos orientados.

Teorema - Let A , B y M tres puntos distintos, y Γ un círculo de centro O a través de A y B . El punto M pertenece a Γ si y sólo si: . ${\ displaystyle ({\ overrightarrow {OA}}, {\ overrightarrow {OB}}) \ equiv 2 ({\ overrightarrow {MA}}, {\ overrightarrow {MB}}) \ mod {2 \ pi}}$

Teorema del ángulo inscrito

Versión de ángulos geométricos

Corolario : dos ángulos inscritos en un círculo e interceptando el mismo arco tienen la misma medida.

Esta propiedad es una consecuencia inmediata del teorema del ángulo central anterior .

Complemento : dos ángulos inscritos en un círculo que interceptan arcos circulares complementarios son adicionales .

Los ángulos inscritos interceptan dos arcos complementarios si sus vértices están a cada lado de la cuerda asociada con los dos arcos.

La propiedad declarada es nuevamente una consecuencia directa del teorema del ángulo central. Cuando los arcos son complementarios, la suma de los ángulos en el centro da un ángulo completo. Como los ángulos inscritos son iguales a la mitad de los ángulos en el centro, la suma de los ángulos inscritos da un ángulo plano.

Aplicaciones

Este teorema es la base de la noción de círculo de enfoque, o círculo de Rowland, en espectrometría .

Ángulo de la cuerda y una tangente

La propiedad de los ángulos inscritos se generaliza a los ángulos formados por la cuerda que subtiende el arco con tangente:

El ángulo inscrito tiene la misma medida que el ángulo que forma la cuerda, que une los extremos del arco, con la parte de la tangente al círculo en uno de los extremos de la cuerda, ubicado opuesto al ángulo l en cuestión con respecto a el acorde.

El ángulo inscrito tiene la misma medida que uno de los dos ángulos formados por la tangente (TT ') al círculo en A con la cuerda [AB]: ${\ displaystyle {\ widehat {AMB}}}$

El ángulo inscrito tiene la misma medida que el ángulo de la cuerda [BA] con la tangente [AT). ${\ displaystyle {\ widehat {AMB}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BAT}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {BAT}}}$ es la posición límite del ángulo inscrito cuando M "tiende" hacia A. ${\ displaystyle {\ widehat {BMA}}}$

Demostración

Si H es el punto medio de [AB], los ángulos y tienen sus lados de dos por dos perpendiculares, tienen la misma medida. ${\ displaystyle {\ widehat {HOA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BAT}}}$

(OH) siendo la bisectriz del triángulo isósceles BOA, tenemos y es de hecho igual a la mitad de la medida del ángulo en el centro y por lo tanto a la medida del ángulo según el teorema del ángulo en el centro. ${\ displaystyle {\ widehat {HOA}} = {\ frac {1} {2}} {\ widehat {BOA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BAT}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BOA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BMA}}}$

Versión relativa a ángulos orientados

Para ángulos orientados, la propiedad es una caracterización del círculo a través de los puntos A , M y B .

Teorema : si el círculo está circunscrito a un triángulo no plano AMB, entonces para cualquier punto N distinto de A y B , tenemos $\Gama$

{\ displaystyle ({\ overrightarrow {NA}}, {\ overrightarrow {NB}}) \ equiv ({\ overrightarrow {MA}}, {\ overrightarrow {MB}}) \ mod \ pi \ iff N \ in \ Gamma }

Tenga en cuenta que la igualdad solo es cierta con π cerca, lo que explica que los ángulos geométricos pueden ser adicionales.

Notas y referencias

Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo titulado “ Teorema del ángulo inscrito ” (ver la lista de autores ) .

Un ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice pertenece al círculo. Así, en el diagrama, el ángulo AMO está inscrito en el círculo porque M se coloca en la circunferencia.
Para una demostración, véase por ejemplo el capítulo "ángulo inscrito y el ángulo central" de la lección "inscrito ángulo teorema" en la Wikiversidad .
Para una demostración, vea por ejemplo el capítulo "Versión relacionada con ángulos orientados" de la lección "Teorema del ángulo inscrito" en Wikiversidad .
Uno de los arcos, completado por el otro, forma el círculo completo. Ver Complementario (teoría de conjuntos) .

Ver también