Prueba t de Welch

En estadística , la prueba t de Welch es una adaptación de la prueba t de Student . Se puede utilizar en particular para probar estadísticamente la hipótesis de igualdad de dos medias con dos muestras de varianzas desiguales. De hecho, es una solución aproximada del problema de Behrens-Fisher .

El examen

Su estadística de prueba viene dada por la siguiente fórmula:

t=X¯1-X¯2s12NO1+s22NO2{\ Displaystyle t = {{\ overline {X}} _ {1} - {\ overline {X}} _ {2} \ over {\ sqrt {{s_ {1} ^ {2} \ over N_ {1} } + {s_ {2} ^ {2} \ over N_ {2}}}}} \,}

donde , s 2 y N corresponden respectivamente a la media de una muestra , su varianza y el tamaño de la muestra . A diferencia de la prueba t de Student, el denominador n ' es no basa en una estimación de la varianza total. X¯{\ Displaystyle {\ overline {X}}}

El cálculo de los grados de libertad ν asociados con esta estimación de la varianza se aproxima mediante la ecuación de Welch-Satterthwaite  :

ν=(s12NO1+s22NO2)2s14NO12⋅ν1+s24NO22⋅ν2=(s12NO1+s22NO2)2s14NO12⋅(NO1-1)+s24NO22⋅(NO2-1).{\ Displaystyle \ nu = {{\ left ({s_ {1} ^ {2} \ over N_ {1}} + {s_ {2} ^ {2} \ over N_ {2}} \ right) ^ {2 }} \ over {{s_ {1} ^ {4} \ over N_ {1} ^ {2} \ cdot \ nu _ {1}} + {s_ {2} ^ {4} \ over N_ {2} ^ {2} \ cdot \ nu _ {2}}}} = {{\ left ({s_ {1} ^ {2} \ over N_ {1}} + {s_ {2} ^ {2} \ over N_ { 2}} \ right) ^ {2}} \ over {{s_ {1} ^ {4} \ over N_ {1} ^ {2} \ cdot \ left ({N_ {1} -1} \ right)} + {s_ {2} ^ {4} \ over N_ {2} ^ {2} \ cdot \ left ({N_ {2} -1} \ right)}}}. \,}

Por tanto, ν i = N i –1 , los grados de libertad están asociados con la i ésima estimación de la varianza.

Una vez calculadas t y ν , estas estadísticas se pueden usar con el estudiante con ν grados de libertad, para probar la hipótesis nula que establece que las medias de dos poblaciones son iguales (usando una prueba de dos colas ), o la hipótesis nula de que la la media de una población es mayor o igual que otra (usando una prueba unilateral ). Cuando se realiza la prueba, da un valor p que permitirá rechazar o no la hipótesis nula.

Notas y referencias

• (en) Welch BL, "  La generalización del problema de" Student "cuando están involucradas varias variaciones de población diferentes  ", Biometrika , vol.  34, n os  1/2,1947, p.  28-35 ( DOI  10.1093 / biomet / 34.1-2.28 )
• (in) prueba t con corrección de Welch
• (en) Sawilowsky SS, "  Fermat, Schubert, Einstein y Behrens - Fisher: La diferencia probable entre dos medias cuando σ 1 ≠ σ 2  ", Revista de métodos estadísticos aplicados modernos , vol.  1, n o  22002, p.  461-472 ( leer en línea )

• (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Prueba t de Welch  " ( ver la lista de autores ) .

Ver también

Artículo relacionado

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