Secuencia de polinomios ortogonales

En matemáticas , una secuencia de polinomios ortogonales es una secuencia infinita de polinomios p 0 ( x ) , p 1 ( x ) , p 2 ( x ) ... con coeficientes reales, en los que cada p n ( x ) es de grado n , y tal que los polinomios de la secuencia sean ortogonales de dos en dos para un producto escalar dado de funciones.

Esta noción se utiliza, por ejemplo, en criptología o en análisis digital . Resuelve muchos problemas de física, como la mecánica de fluidos o el procesamiento de señales . Muchos tipos de polinomios ortogonales particulares como los de Legendre , de Tchebychev permiten aproximarse a una función y, por sus propiedades, resolver ecuaciones diferenciales complejas más simples .

Introducción

El producto escalar más simple de funciones es la integral del producto de estas funciones, sobre un intervalo acotado:

⟨F,gramo⟩=∫aBF(X)gramo(X) DX{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x}

De manera más general, podemos introducir una "función de peso" W ( x ) en la integral (sobre el intervalo de integración ) a , b [ , W debe ser con valores finitos y estrictamente positivos, y la integral del producto del peso la función por un polinomio debe ser finita; los límites a , b pueden ser infinitos):

⟨F,gramo⟩=∫aBF(X)gramo(X)W(X) DX{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}

Con esta definición del producto escalar, dos funciones son ortogonales entre sí si su producto escalar es igual a cero (de la misma manera que dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es igual a cero). Luego introdujo el estándar asociado  :; el producto escalar hace que el conjunto de todas las funciones de norma finita sea un espacio de Hilbert . ||F||=⟨F,F⟩{\ Displaystyle || f || = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle}}}

El intervalo de integración se llama intervalo de ortogonalidad .

El campo de polinomios ortogonales desarrollados a finales del XIX °  siglo de un estudio de las fracciones continuas por Pafnuty Chebyshev y fue demandado por Andrei Markov y Thomas Joannes Stieltjes . Gábor Szegő , Sergei Bernstein , Naum Akhiezer , Arthur Erdélyi  (en) , Yakov Geronimus , Wolfgang Hahn  (en) , Theodore Seio Chihara  (en) , Mourad Ismail  (en) , Waleed Al-Salam  (en) et Richard Askey ont également travaillé sobre el tema. Muchas aplicaciones se han traducido en matemáticas y física .

Ejemplo: polinomios de Legendre

Los polinomios ortogonales más simples son los polinomios de Legendre para los cuales el intervalo de ortogonalidad es] -1, 1 [y la función de ponderación es la función constante del valor 1:

PAG0(X)=1{\ Displaystyle P_ {0} (x) = 1}PAG1(X)=X{\ Displaystyle P_ {1} (x) = x}PAG2(X)=3X2-12{\ Displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}PAG3(X)=5X3-3X2{\ Displaystyle P_ {3} (x) = {\ frac {5x ^ {3} -3x} {2}}}PAG4(X)=35X4-30X2+38{\ Displaystyle P_ {4} (x) = {\ frac {35x ^ {4} -30x ^ {2} +3} {8}}}...{\ Displaystyle \ puntos \,}

Todos son ortogonales en] -1, 1 [:

∫-11PAGmetro(X)PAGno(X) DX=0pagoturmetro≠no{\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) ~ \ mathrm {d} x = 0 \ qquad \ mathrm {para} \ qquad m \ neq n }

Propiedades

Cualquier secuencia de polinomios p 0 , p 1 , ... , donde cada p k es de grado k , es una base del espacio vectorial (de dimensión infinita) de todos los polinomios, "adaptados a la bandera  ". Una secuencia de polinomios ortogonales es una base de este tipo que, además, es ortogonal para un determinado producto escalar. Siendo este producto escalar fijo, tal secuencia es casi única (única para el producto cerca de sus vectores por escalares distintos de cero), y puede obtenerse de la base canónica (1, x , x 2 , ...) (no ortogonal en general), por el método de Gram-Schmidt . R[X]{\ Displaystyle \ mathbb {R} [x]} (Rno[X])no∈NO{\ Displaystyle (\ mathbb {R} _ {n} [x]) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Cuando construimos una base ortogonal, podemos tener la tentación de hacerla ortonormal , es decir, tal que para todo n , dividiendo cada p n por su norma. En el caso de polinomios, se prefiere no imponer esta condición adicional porque a menudo daría lugar a coeficientes que contienen raíces cuadradas. A menudo preferimos elegir un multiplicador de modo que los coeficientes sigan siendo racionales y dar fórmulas lo más simples posible. Es estandarización. Por tanto, los polinomios "clásicos" que se enumeran a continuación se han estandarizado; normalmente, el coeficiente de su término de grado más alto o su valor en un punto se ha establecido en una cantidad determinada (para polinomios de Legendre, P ' n (1) = 1 ). Esta estandarización es una convención que a veces también se puede obtener escalando la función de ponderación correspondiente. Nota ⟨pagno,pagno⟩ = 1{\ Displaystyle \ langle p_ {n}, p_ {n} \ rangle \ = \ 1}

hno=⟨pagno, pagno⟩{\ Displaystyle h_ {n} = \ langle p_ {n}, \ p_ {n} \ rangle}

(la norma de p n es la raíz cuadrada de h n ). Los valores de h n para los polinomios estandarizados se enumeran en la siguiente tabla. Nosotros tenemos

⟨pagmetro, pagno⟩=δmetronohno{\ Displaystyle \ langle p_ {m}, \ p_ {n} \ rangle = \ delta _ {mn} h_ {n}} ;

donde δ mn es el símbolo de Kronecker .

Cualquier secuencia ( p k ) de polinomios ortogonales tiene un gran número de propiedades notables. Para empezar :

• Lema 1: ( p 0 , p 1 , ..., p n ) es una base deRno[X]{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {n} [x]}
• Lema 2: p n es ortogonal a .Rno-1[X]{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}

El lema 1 se debe al hecho de que p k es de grado k . El lema 2 proviene del hecho de que, además, los p k son dos por dos ortogonales.

Relación de recurrencia

Para cualquier secuencia de polinomios ortogonales, existe una relación de recurrencia relativa a tres polinomios consecutivos.

pagno+1 = (anoX+Bno) pagno - vsno pagno-1{\ Displaystyle p_ {n + 1} \ = \ (a_ {n} x + b_ {n}) \ p_ {n} \ - \ c_ {n} \ p_ {n-1}}

Los coeficientes a n , b n , c n están dados por

ano=kno+1kno,Bno=ano(kno+1′kno+1-kno′kno),vsno=ano(kno-1hnoknohno-1),{\ Displaystyle a_ {n} = {\ frac {k_ {n + 1}} {k_ {n}}}, \ qquad b_ {n} = a_ {n} \ left ({\ frac {k_ {n + 1 } '} {k_ {n + 1}}} - {\ frac {k_ {n}'} {k_ {n}}} \ right), \ qquad c_ {n} = a_ {n} \ left ({\ frac {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ derecha),}

donde k j y k j ' denotan los dos primeros coeficientes de p j  :

pagj(X)=kjXj+kj′Xj-1+⋯{\ Displaystyle p_ {j} (x) = k_ {j} x ^ {j} + k_ {j} 'x ^ {j-1} + \ cdots}

y h j el producto escalar de p j por sí mismo:

hj = ⟨pagj, pagj⟩{\ Displaystyle h_ {j} \ = \ \ langle p_ {j}, \ p_ {j} \ rangle}.

(Por convención, c 0 , p –1 , k ' 0 son cero).

Demostración

Con los valores dados para a n y b n , el polinomio ( a n x + b n ) p n - p n +1 es de grado menor que n ( se eliminan los términos de los grados n +1 y n ). Así se puede expresar en forma de combinación lineal de los elementos de la base ( p j )n –1
j = 0de  : Rno-1[X]{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {n-1} [x]}

(anoX+Bno)pagno-pagno+1=∑j=0no-1μno,jpagj,{\ Displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} \ mu _ {n, j} p_ {j},}

con

hjμno,j=⟨(anoX+Bno)pagno-pagno+1,pagj⟩=ano⟨Xpagno,pagj⟩{\ Displaystyle h_ {j} \ mu _ {n, j} = \ langle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1}, p_ {j} \ rangle = a_ {n} \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle}

(porque para j < n , p j es ortogonal ap n y p n +1 ).

Además, por la forma integral del producto escalar,

⟨Xpagno,pagj⟩=⟨pagno,Xpagj⟩.{\ Displaystyle \ langle xp_ {n}, p_ {j} \ rangle = \ langle p_ {n}, xp_ {j} \ rangle.}

Para j < n -1, este producto escalar es cero porque xp j es de grado < n .

Para j = n -1, es igual a porque (por el mismo razonamiento que al principio) a n –1 x p n –1 - p n es de grado menor que n . hnoano-1{\ Displaystyle {\ frac {h_ {n}} {a_ {n-1}}}}

Se puede concluir :

(anoX+Bno)pagno-pagno+1=vsnopagno-1,{\ Displaystyle (a_ {n} x + b_ {n}) p_ {n} -p_ {n + 1} = c_ {n} p_ {n-1}, \,}

con

vsno=μno,no-1=anohno-1 hnoano-1=ano(kno-1hnoknohno-1).{\ Displaystyle c_ {n} = \ mu _ {n, n-1} = {\ frac {a_ {n}} {h_ {n-1}}} \ {\ frac {h_ {n}} {a_ { n-1}}} = a_ {n} \ left ({\ frac {k_ {n-1} h_ {n}} {k_ {n} h_ {n-1}}} \ right).}

Este resultado admite un teorema inverso, de Favard , que afirma que bajo ciertas condiciones adicionales, una secuencia de polinomios que satisface esta recurrencia es una secuencia de polinomios ortogonales (para una determinada función de ponderación W ).

Núcleo de Christoffel-Darboux

En el espacio L 2 asociado con W , sea S n la proyección ortogonal en  : para cualquier función f tal que , Rno[X]{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {n} [x]}∫aBF2(X)W(X) DX<∞{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x <\ infty}

(SnoF)(X)=∑k=0no⟨F,pagk⟩hkpagk(X)=∫aBKno(X,y)F(y)W(y) Dy,{\ Displaystyle (S_ {n} f) (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ langle f, p_ {k} \ rangle} {h_ {k}}} p_ { k} (x) = \ int _ {a} ^ {b} K_ {n} (x, y) f (y) W (y) ~ \ mathrm {d} y,}

donde K n es el núcleo de Christoffel - Darboux , definido por:

Kno(X,y)=∑k=0nopagk(X)pagk(y)hk.{\ Displaystyle K_ {n} (x, y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {p_ {k} (x) p_ {k} (y)} {h_ {k}} }.}

La relación de recurrencia anterior permite entonces mostrar:

Kno(X,y)=knokno+1hno pagno+1(X)pagno(y)-pagno(X)pagno+1(y)X-y,{\ Displaystyle K_ {n} (x, y) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ {\ frac {p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y)} {xy}},} Kno(X,X)=knokno+1hno (pagno+1′(X)pagno(X)-pagno′(X)pagno+1(X)).{\ Displaystyle K_ {n} (x, x) = {\ frac {k_ {n}} {k_ {n + 1} h_ {n}}} \ (p '_ {n + 1} (x) p_ { n} (x) -p '_ {n} (x) p_ {n + 1} (x)).} Demostración

Probemos la primera de estas dos fórmulas (la segunda se deduce haciendo que y tienda hacia x ), por inducción sobre n . Para n = -1 es cierto (por convención, K -1 = 0). Suponga que es cierto en el rango n -1 y demuéstrelo en el rango n . Reemplazando p n +1 obtenemos

pagno+1(X)pagno(y)-pagno(X)pagno+1(y)=ano(X-y)pagno(X)pagno(y)-vsno(pagno-1(X)pagno(y)-pagno(X)pagno-1(y)){\ Displaystyle p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y) = a_ {n} (xy) p_ {n} (x ) p_ {n} (y) -c_ {n} \ left (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ derecho) \,}

con, por hipótesis de inducción,

-vsno(pagno-1(X)pagno(y)-pagno(X)pagno-1(y))=vsnoano-1hno-1(X-y)Kno-1(X,y)=anohno(X-y)Kno-1(X,y),{\ Displaystyle -c_ {n} \ left (p_ {n-1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n-1} (y) \ right) = c_ { n} a_ {n-1} h_ {n-1} (xy) K_ {n-1} (x, y) = a_ {n} h_ {n} (xy) K_ {n-1} (x, y ), \,}

de donde

pagno+1(X)pagno(y)-pagno(X)pagno+1(y)anohno(X-y)=pagno(X)pagno(y)hno+Kno-1(X,y)=Kno(X,y).{\ Displaystyle {\ frac {p_ {n + 1} (x) p_ {n} (y) -p_ {n} (x) p_ {n + 1} (y)} {a_ {n} h_ {n} (xy)}} = {\ frac {p_ {n} (x) p_ {n} (y)} {h_ {n}}} + K_ {n-1} (x, y) = K_ {n} ( x, y).}

Existencia de raíces reales

Cualquier polinomio de una serie de polinomios ortogonales cuyo grado n sea ​​mayor o igual a 1 admite n raíces distintas, todas reales, y ubicadas estrictamente dentro del intervalo de integración (esta es una propiedad notable: es rara, para un polinomio de alto grado cuyos coeficientes han sido elegidos al azar, para tener todas sus raíces reales).

Posición de la raíz

Las raíces de los polinomios se encuentran estrictamente entre las raíces del polinomio de mayor grado a continuación.

Demostración

Primero ponemos todos los polinomios en una forma estandarizada de modo que el coeficiente dominante sea positivo (que no cambia las raíces), luego realizamos una recurrencia en n . Para n = 0 no hay nada que probar. Suponga que la propiedad adquirida hasta el rango n . Sea x 1 <... < x n las raíces de p n y y 0 <... < y n las de p n +1 . La relación de recurrencia da p n +1 ( x j ) = - c n p n –1 ( x j ) con (según la elección de estandarización) c n > 0 . Sin embargo, por hipótesis de inducción, (–1) n - j p n –1 ( x j )> 0 . Deducimos (–1) n + 1– j p n +1 ( x j )> 0 . Además, ∀ x > y n , p n +1 ( x )> 0 y ∀ x < y 0 , (–1) n +1 p n +1 ( x )> 0 . Esto nos permite concluir: y 0 < x 1 < y 1 <... < x n < y n .

Otro método de demostración es probar (por inducción, o más simplemente usando el núcleo de Christoffel-Darboux) que para todo n y todo x , p n +1 '( x ) p n ( x )> p n +1 ( x ) p n '( x ) , para deducir que p n +1 ' ( y j ) y p n ( y j ) tienen el mismo signo, de modo que (–1) n - j p n ( y j )> 0 , lo que permite concluir que p n desaparece entre y j .

Ecuaciones diferenciales que conducen a polinomios ortogonales

Una clase importante de polinomios ortogonales proviene de una ecuación diferencial de Sturm-Liouville de la forma

Q(X)F″+L(X)F′+λF=0{\ Displaystyle {Q (x)} \, f '' + {L (x)} \, f '+ {\ lambda} f = 0 \,}

donde Q es un polinomio cuadrático dado y L es un polinomio lineal dado. La función f es desconocida y la constante λ es un parámetro. Podemos notar que una solución polinomial es a priori posible para tal ecuación, siendo compatibles los grados de los términos. Sin embargo, las soluciones de esta ecuación diferencial tienen singularidades, a menos que λ tome valores específicos. La secuencia de estos valores λ 0 , λ 1 , λ 2 , etc. conduce a una secuencia de polinomios solución P 0 , P 1 , P 2 ... si una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

1. Q es verdaderamente cuadrático y tiene dos raíces reales distintas, L es lineal y su raíz se encuentra entre las dos raíces de Q , y los términos de grado más alto de Q y L tienen el mismo signo.
2. Q no es cuadrática, sino lineal, L es lineal, las raíces de Q y L son diferentes, y los términos de grado más alto de Q y L tienen el mismo signo si la raíz de L es menor que la de Q , o viceversa.
3. Q es una constante no cero polinomio, L es lineal, y el término de más alto grado de L es de signo opuesto a la de Q .

Estos tres casos conducen respectivamente a los polinomios de Jacobi , Laguerre y Hermite . Para cada uno de estos casos:

• La solución es una serie de polinomios P 0 , P 1 , P 2 …, cada P n tiene un grado n , y corresponde al número λ n  ;
• El intervalo de ortogonalidad está limitado por las raíces de Q  ;
• La raíz de L está dentro del intervalo de ortogonalidad.
• Observando que los polinomios son ortogonales bajo la función de ponderación.R(X)=Exp⁡(∫X0XL(t)Q(t) Dt){\ Displaystyle R (x) = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ derecho) \,}W(X)=R(X)Q(X){\ Displaystyle W (x) = {\ frac {R (x)} {Q (x)}} \,}
• W ( x ) no puede desaparecer o tomar un valor infinito en el intervalo, aunque sí en los extremos.
• W ( x ) puede elegirse como positivo en el intervalo (multiplique la ecuación diferencial por –1 si es necesario)

Debido a la constante de integración, la cantidad R ( x ) se define hasta una constante multiplicativa. La siguiente tabla muestra los valores "oficiales" de R ( x ) y W ( x ).

Fórmula de Rodrigues

Con los supuestos de la sección anterior, P n ( x ) es proporcional a1W(X) DnoDXno(W(X)[Q(X)]no){\ Displaystyle {\ frac {1} {W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left (W (x) [Q (x)] ^ { n} \ right)}

ecuación más conocida como la "  fórmula de Rodrigues  ", llamada así por Olinde Rodrigues . A menudo se escribe:

PAGno(X)=1minoW(X) DnoDXno(W(X)[Q(X)]no){\ Displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {{e_ {n}} W (x)}} \ {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ izquierda (W (x) [Q (x)] ^ {n} \ right)}

donde los números e n dependen de la normalización. Los valores de e n se dan en la siguiente tabla .

Para probar esta fórmula verificamos, en cada uno de los tres casos anteriores, que el P n que proporciona es efectivamente un polinomio de grado n , entonces, mediante integraciones por partes repetidas, que para cualquier polinomio P , es por tanto igual a cero si P es de grado menor que n . Este método muestra además eso . ⟨1W(WQno)(no),PAG⟩{\ Displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {W}} (WQ ^ {n}) ^ {(n)}, P \ right \ rangle}(-1)no⟨Qno,PAG(no)⟩,{\ Displaystyle (-1) ^ {n} \ langle Q ^ {n}, P ^ {(n)} \ rangle,}hnomino=(-1)nono!kno∫aB(Q(X))noW(X) DX{\ Displaystyle h_ {n} e_ {n} = (- 1) ^ {n} n! k_ {n} \ int _ {a} ^ {b} (Q (x)) ^ {n} W (x) ~ \ mathrm {d} x}

Los números λ n

Con los supuestos del apartado anterior,

λno=no(1-no2 Q″-L′){\ Displaystyle {\ lambda} _ {n} = n \ left ({\ frac {1-n} {2}} \ Q '' - L '\ right)}

Tenga en cuenta que Q es cuadrático y L lineal, Q '' y L ' son de hecho constantes.

Segunda forma de la ecuación diferencial

Con . R(X)=Exp⁡(∫X0XL(t)Q(t) Dt){\ Displaystyle R (x) = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ derecho) \,}

Entonces

(Ry′)′=Ry″+R′y′=Ry″+RLQy′{\ Displaystyle (Ry ')' = R \, y '' + R '\, y' = R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '}

Ahora multiplicando la ecuación diferencial

Qy″+Ly′+λy=0{\ Displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}

por R / Q , obtenemos

Ry″+RLQy′+RλQy=0{\ Displaystyle R \, y '' + {\ frac {R \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}

o

(Ry′)′+RλQy=0{\ displaystyle (Ry ')' + {\ frac {R \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}

Esta es la forma normalizada de Sturm-Liouville de la ecuación.

Tercera forma de la ecuación diferencial

Posando . S(X)=R(X)=Exp⁡(∫X0XL(t)2Q(t) Dt){\ Displaystyle S (x) = {\ sqrt {R (x)}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {L (t)} {2 \, Q (t)}} ~ \ mathrm {d} t \ right) \,}

Entonces :

S′=SL2Q.{\ Displaystyle S '= {\ frac {S \, L} {2 \, Q}}.}

Ahora multiplicando la ecuación diferencial

Qy″+Ly′+λy=0{\ Displaystyle {Q} \, y '' + {L} \, y '+ {\ lambda} \, y = 0 \,}

por S / Q , obtenemos:

Sy″+SLQy′+SλQy=0{\ Displaystyle S \, y '' + {\ frac {S \, L} {Q}} \, y '+ {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}

o

Sy″+2S′y′+SλQy=0{\ Displaystyle S \, y '' + 2 \, S '\, y' + {\ frac {S \, \ lambda} {Q}} \, y = 0 \,}

Pero , entonces (Sy)″=Sy″+2S′y′+S″y{\ Displaystyle (S \, y) '' = S \, y '' + 2 \, S '\, y' + S '' \, y}

(Sy)″+(SλQ-S″)y=0,{\ Displaystyle (S \, y) '' + \ left ({\ frac {S \, \ lambda} {Q}} - S '' \ right) \, y = 0, \,}

o, estableciendo u = Sy ,

tu″+(λQ-S″S)tu=0.{\ Displaystyle u '' + \ left ({\ frac {\ lambda} {Q}} - {\ frac {S ''} {S}} \ right) \, u = 0. \,}

Tabla de polinomios ortogonales clásicos

Por motivos de diseño, esta tabla se divide en tres partes.

Nombre y símbolo	Chebyshev , Tno{\ Displaystyle \ T_ {n}}	Chebyshev (segundo tipo), Uno{\ Displaystyle \ U_ {n}}	Legendre , PAGno{\ Displaystyle \ P_ {n}}	Ermitaño (forma física), Hno{\ Displaystyle \ H_ {n}}
Límite de ortogonalidad	-1,1{\ Displaystyle -1,1 \,}	-1,1{\ Displaystyle -1,1 \,}	-1,1{\ Displaystyle -1,1 \,}	-∞,∞{\ Displaystyle - \ infty, \ infty}
Peso, W(X){\ Displaystyle W (x) \,}	(1-X2)-1/2{\ Displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {- 1/2} \,}	(1-X2)1/2{\ Displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}	1{\ Displaystyle 1 \,}	mi-X2{\ Displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}
Estandarización	Tno(1)=1{\ Displaystyle T_ {n} (1) = 1 \,}	Uno(1)=no+1{\ Displaystyle U_ {n} (1) = n + 1 \,}	PAGno(1)=1{\ Displaystyle P_ {n} (1) = 1 \,}	Coeficiente dominante = 2no{\ Displaystyle 2 ^ {n} \,}
Cuadrado estándar hno{\ Displaystyle h_ {n} \,}	{π: no=0π/2: no≠0{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ pi &: ~ n = 0 \\\ pi / 2 &: ~ n \ neq 0 \ end {matrix}} \ right.}	π/2{\ Displaystyle \ pi / 2 \,}	22no+1{\ Displaystyle {\ frac {2} {2n + 1}}}	2nono!π{\ Displaystyle 2 ^ {n} \, n! \, {\ sqrt {\ pi}}}
Coeficiente dominante kno{\ Displaystyle k_ {n} \,}	2no-1{\ Displaystyle 2 ^ {n-1} \,}	2no{\ Displaystyle 2 ^ {n} \,}	(2no)!2no(no!)2{\ Displaystyle {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} \, (n!) ^ {2}}} \,}	2no{\ Displaystyle 2 ^ {n} \,}
Siguiente coeficiente kno′{\ Displaystyle k '_ {n} \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}
Q{\ Displaystyle Q \,}	1-X2{\ Displaystyle 1-x ^ {2} \,}	1-X2{\ Displaystyle 1-x ^ {2} \,}	1-X2{\ Displaystyle 1-x ^ {2} \,}	1{\ Displaystyle 1 \,}
L{\ Displaystyle L \,}	-X{\ Displaystyle -x \,}	-3X{\ Displaystyle -3x \,}	-2X{\ Displaystyle -2x \,}	-2X{\ Displaystyle -2x \,}
R(X)=mi∫L(X)Q(X) DX{\ Displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ mathrm {d} x}}	(1-X2)1/2{\ Displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} \,}	(1-X2)3/2{\ Displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {3/2} \,}	1-X2{\ Displaystyle 1-x ^ {2} \,}	mi-X2{\ Displaystyle e ^ {- x ^ {2}} \,}
Constante en la ecuación diferencial, λno{\ Displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}	no2{\ Displaystyle n ^ {2} \,}	no(no+2){\ Displaystyle n (n + 2) \,}	no(no+1){\ Displaystyle n (n + 1) \,}	2no{\ Displaystyle 2n \,}
Constante en la fórmula de Rodrigues ,mino{\ Displaystyle e_ {n} \,}	(-2)noΓ(no+1/2)π{\ Displaystyle (-2) ^ {n} \, {\ frac {\ Gamma (n + 1/2)} {\ sqrt {\ pi}}} \,}	2(-2)noΓ(no+3/2)(no+1)π{\ Displaystyle 2 (-2) ^ {n} \, {\ frac {\ Gamma (n + 3/2)} {(n + 1) \, {\ sqrt {\ pi}}}} \,}	(-2)nono!{\ Displaystyle (-2) ^ {n} \, n! \,}	(-1)no{\ Displaystyle (-1) ^ {n} \,}
Relación de recurrencia, ano{\ Displaystyle a_ {n} \,}	2{\ Displaystyle 2 \,}	2{\ Displaystyle 2 \,}	2no+1no+1{\ Displaystyle {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}	2{\ Displaystyle 2 \,}
Relación de recurrencia, Bno{\ Displaystyle b_ {n} \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}
Relación de recurrencia, vsno{\ Displaystyle c_ {n} \,}	1{\ Displaystyle 1 \,}	1{\ Displaystyle 1 \,}	nono+1{\ Displaystyle {\ frac {n} {n + 1}} \,}	2no{\ Displaystyle 2n \,}

Nombre y símbolo	Socio de Laguerre ,Lno(α){\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)}}	Laguerre , Lno{\ Displaystyle \ L_ {n}}
Límites de ortogonalidad	0,∞{\ Displaystyle 0, \ infty \,}	0,∞{\ Displaystyle 0, \ infty \,}
Peso, W(X){\ Displaystyle W (x) \,}	Xαmi-X{\ Displaystyle x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \,}	mi-X{\ Displaystyle e ^ {- x} \,}
Estandarización	Coeficiente dominante = (-1)nono!{\ Displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}	Coeficiente dominante = (-1)nono!{\ Displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
Cuadrado estándar hno{\ Displaystyle h_ {n} \,}	1{\ Displaystyle 1 \,}	1{\ Displaystyle 1 \,}
Coeficiente dominante kno{\ Displaystyle k_ {n} \,}	(-1)nono!{\ Displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}	(-1)nono!{\ Displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \,}
Siguiente coeficiente kno′{\ Displaystyle k '_ {n} \,}	(-1)no+1(no+α)(no-1)!{\ Displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n + 1} (n + \ alpha)} {(n-1)!}} \,}	(-1)no+1no(no-1)!{\ Displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n + 1} n} {(n-1)!}} \,}
Q{\ Displaystyle Q \,}	X{\ Displaystyle x \,}	X{\ Displaystyle x \,}
L{\ Displaystyle L \,}	α+1-X{\ Displaystyle \ alpha + 1-x \,}	1-X{\ Displaystyle 1-x \,}
R(X)=mi∫L(X)Q(X) DX{\ Displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ mathrm {d} x}}	Xα+1mi-X{\ displaystyle x ^ {\ alpha +1} \, e ^ {- x} \,}	Xmi-X{\ Displaystyle x \, e ^ {- x} \,}
Constante en la ecuación diferencial, λno{\ Displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}	no{\ Displaystyle n \,}	no{\ Displaystyle n \,}
Constante en la relación de Rodrigues, mino{\ Displaystyle e_ {n} \,}	no!{\ Displaystyle n! \,}	no!{\ Displaystyle n! \,}
Relación de recurrencia, ano{\ Displaystyle a_ {n} \,}	-1no+1{\ Displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}	-1no+1{\ Displaystyle {\ frac {-1} {n + 1}} \,}
Relación de recurrencia, Bno{\ Displaystyle b_ {n} \,}	2no+1+αno+1{\ Displaystyle {\ frac {2n + 1 + \ alpha} {n + 1}} \,}	2no+1no+1{\ Displaystyle {\ frac {2n + 1} {n + 1}} \,}
Relación de recurrencia, vsno{\ Displaystyle c_ {n} \,}	no+αno+1{\ Displaystyle {\ frac {n + \ alpha} {n + 1}} \,}	nono+1{\ Displaystyle {\ frac {n} {n + 1}} \,}

Nombre y símbolo	Gegenbauer ,VSno(α){\ Displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha)}}	Jacobi ,PAGno(α,β){\ Displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}}
Límites de ortogonalidad	-1,1{\ Displaystyle -1,1 \,}	-1,1{\ Displaystyle -1,1 \,}
Peso, W(X){\ Displaystyle W (x) \,}	(1-X2)α-1/2{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {\ alpha -1/2} \,}	(1-X)α(1+X)β{\ displaystyle (1-x) ^ {\ alpha} (1 + x) ^ {\ beta} \,}
Estandarización	VSno(α)(1)=Γ(no+2α)no!Γ(2α){\ Displaystyle C_ {n} ^ {(\ alpha)} (1) = {\ frac {\ Gamma (n + 2 \ alpha)} {n! \, \ Gamma (2 \ alpha)}} \,} tejo α≠0{\ Displaystyle \ alpha \ neq 0}	PAGno(α,β)(1)=Γ(no+1+α)no!Γ(1+α){\ Displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (1) = {\ frac {\ Gamma (n + 1 + \ alpha)} {n! \, \ Gamma (1+ \ alpha)} } \,}
Cuadrado del estándar, hno{\ Displaystyle h_ {n} \,}	π21-2αΓ(no+2α)no!(no+α)(Γ(α))2{\ Displaystyle {\ frac {\ pi \, 2 ^ {1-2 \ alpha} \ Gamma (n + 2 \ alpha)} {n! (n + \ alpha) (\ Gamma (\ alpha)) ^ {2 }}}}	2α+β+1Γ(no+α+1)Γ(no+β+1)no!(2no+α+β+1)Γ(no+α+β+1){\ Displaystyle {\ frac {2 ^ {\ alpha + \ beta +1} \, \ Gamma (n \! + \! \ alpha \! + \! 1) \, \ Gamma (n \! + \! \ beta \! + \! 1)} {n! (2n \! + \! \ alpha \! + \! \ beta \! + \! 1) \ Gamma (n \! + \! \ alpha \! + \ ! \ beta \! + \! 1)}}}
Coeficiente dominante kno{\ Displaystyle k_ {n} \,}	Γ(2no+2α)Γ(1/2+α)no!2noΓ(2α)Γ(no+1/2+α){\ Displaystyle {\ frac {\ Gamma (2n + 2 \ alpha) \ Gamma (1/2 + \ alpha)} {n! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (2 \ alpha) \ Gamma (n + 1/2 + \ alpha)}} \,}	Γ(2no+1+α+β)no!2noΓ(no+1+α+β){\ Displaystyle {\ frac {\ Gamma (2n + 1 + \ alpha + \ beta)} {n! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (n + 1 + \ alpha + \ beta)}} \, }
Siguiente coeficiente kno′{\ Displaystyle k '_ {n} \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}	(α-β)Γ(2no+α+β)(no-1)!2noΓ(no+1+α+β){\ Displaystyle {\ frac {(\ alpha - \ beta) \, \ Gamma (2n + \ alpha + \ beta)} {(n-1)! \, 2 ^ {n} \, \ Gamma (n + 1 + \ alpha + \ beta)}} \,}
Q{\ Displaystyle Q \,}	1-X2{\ Displaystyle 1-x ^ {2} \,}	1-X2{\ Displaystyle 1-x ^ {2} \,}
L{\ Displaystyle L \,}	-(2α+1)X{\ Displaystyle - (2 \ alpha +1) \, x \,}	β-α-(α+β+2)X{\ Displaystyle \ beta - \ alpha - (\ alpha + \ beta +2) \, x \,}
R(X)=mi∫L(X)Q(X) DX{\ Displaystyle R (x) = e ^ {\ int {\ frac {L (x)} {Q (x)}} ~ \ mathrm {d} x}}	(1-X2)α+1/2{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {\ alpha +1/2} \,}	(1-X)α+1(1+X)β+1{\ displaystyle (1-x) ^ {\ alpha +1} (1 + x) ^ {\ beta +1} \,}
Constante en la ecuación diferencial, λno{\ Displaystyle {\ lambda} _ {n} \,}	no(no+2α){\ Displaystyle n (n + 2 \ alpha) \,}	no(no+1+α+β){\ Displaystyle n (n + 1 + \ alpha + \ beta) \,}
Constante en la ecuación de Rodrigues, mino{\ Displaystyle e_ {n} \,}	(-2)nono!Γ(2α)Γ(no+1/2+α)Γ(no+2α)Γ(α+1/2){\ Displaystyle {\ frac {(-2) ^ {n} \, n! \, \ Gamma (2 \ alpha) \, \ Gamma (n \! + \! 1/2 \! + \! \ alpha) } {\ Gamma (n \! + \! 2 \ alpha) \ Gamma (\ alpha \! + \! 1/2)}}}	(-2)nono!{\ Displaystyle (-2) ^ {n} \, n! \,}
Relación de recurrencia, ano{\ Displaystyle a_ {n} \,}	2(no+α)no+1{\ Displaystyle {\ frac {2 (n + \ alpha)} {n + 1}} \,}	(2no+1+α+β)(2no+2+α+β)2(no+1)(no+1+α+β){\ Displaystyle {\ frac {(2n + 1 + \ alpha + \ beta) (2n + 2 + \ alpha + \ beta)} {2 (n + 1) (n + 1 + \ alpha + \ beta)}} }
Relación de recurrencia, Bno{\ Displaystyle b_ {n} \,}	0{\ Displaystyle 0 \,}	(α2-β2)(2no+1+α+β)2(no+1)(2no+α+β)(no+1+α+β){\ Displaystyle {\ frac {({\ alpha} ^ {2} - {\ beta} ^ {2}) (2n + 1 + \ alpha + \ beta)} {2 (n + 1) (2n + \ alpha + \ beta) (n + 1 + \ alpha + \ beta)}}}
Relación de recurrencia, vsno{\ Displaystyle c_ {n} \,}	no+2α-1no+1{\ Displaystyle {\ frac {n + 2 {\ alpha} -1} {n + 1}} \,}	(no+α)(no+β)(2no+2+α+β)(no+1)(no+1+α+β)(2no+α+β){\ Displaystyle {\ frac {(n + \ alpha) (n + \ beta) (2n + 2 + \ alpha + \ beta)} {(n + 1) (n + 1 + \ alpha + \ beta) (2n + \ alpha + \ beta)}}}

Generalizaciones

Es posible definir polinomios ortogonales multivariados utilizando múltiples integrales . Este es, por ejemplo, el caso de los polinomios de Zernike , útiles en óptica geométrica y oftalmología, o, más en general aún, el de los armónicos esféricos .

Nota

1. Ver por ejemplo la cuestión II.2 de este problema de la CAPES 2,000 externa ( 1 st  prueba) y su corrección o ejercicio corregido en Wikcionario .

Apéndices

Bibliografía en francés

• Jean Dieudonné, “Fracciones continuas y polinomios ortogonales” , en EN Laguerre, Polinomios ortogonales y aplicaciones , Springer,1985( leer en línea ) , pág.  1-15
• Jean-Louis Ovaert, Polinomios ortogonales , en Diccionario de matemáticas, álgebra, análisis, geometría , Albin Michel y Encyclopædia Universalis , París, 1997

Bibliografía en inglés

• (en) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas [ detalle de la edición ] ( leer en línea ) , cap.  22 ("Polinomios ortogonales") , pág.  773-792
• (en) Theodore Seio Chihara  (en) , Introducción a los polinomios ortogonales , Publicaciones de Dover ,2011( 1 st  ed. 1978), 270  p. ( ISBN  978-0-486-47929-3 , leer en línea )
• (en) Mourad EH Ismail  (en) , Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable , Cambridge (GB), Cambridge University Press , coll.  "Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones" ( n o  98)2005, 706  p. ( ISBN  978-0-521-78201-2 , leer en línea )
• (en) Tom H. Koornwinder  (de) , Roderick SC Wong, Roelof Koekoek y René F. Swarttouw, cap.  18 “Polinomios ortogonales” , en Frank WJ Olver et al. , Biblioteca digital de funciones matemáticas ( leer en línea )
• (en) Qazi Ibadur Rahman y Gerhard Schmeisser, Teoría analítica de polinomios , Oxford University Press ,2002( leer en línea )
• (en) PK Suetin , "Polinomios ortogonales" , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , leer en línea )
• (en) Gábor Szegő , Polinomios ortogonales , AMS , coll.  "Publicaciones del Coloquio" ( n o  23),1939( ISBN  978-0-8218-1023-1 , leer en línea )

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