Algoritmo de Gram-Schmidt

En álgebra lineal , en un espacio prehilbertian (es decir, un espacio vectorial en el campo de números reales o la de los complejos , provisto de un producto escalar ), el proceso o algoritmo de Gram-Schmidt es un algoritmo para la construcción, desde un libre familia sobre una base ortonormal el subespacio que genera . También podemos usar el método de Gram-Schmidt en una familia infinita numerable de vectores. Esto nos permite demostrar la existencia de una base de Hilbert si el espacio es separable .

Estados

Precisamente, observando $N = {0, ..., p }$ con $p$ en $ℕ$ , o $N = ℕ$ :

Teorema - Si es una familia libre de un espacio prehilbertiano, existe una y solo una familia ortonormal tal que: $(x_ {n}) _ {{n \ in N}} \,$ $(e_ {n}) _ {{n \ in N}} \,$

${{\ rm {Vect}}} (e_ {0}, \ ldots, e_ {n}) = {{\ rm {Vect}}} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \,$ para todos $n$
los productos punto son estrictamente positivos para todos los $n$ $(e_ {n} | x_ {n}) \,$

A menudo olvidamos la segunda condición, que asegura la singularidad. Permite hablar de la familia ortonormalizada de Gram-Schmidt asociada . $(x_ {n}) _ {{n \ in N}} \,$

El paso general del algoritmo consiste en restar al vector $v j +1$ su proyección ortogonal sobre el subespacio generado por $v 0 , ..., v j$ . Uno se apoya en la familia ortonormal ya construida para el cómputo de este proyecto.

Este método fue publicado por Jørgen Pedersen Gram en 1883 y reformulado por Erhard Schmidt en 1907, pero ya se encuentra en 1816 obras de Laplace .

Aplicaciones

El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt da constructivamente la existencia de bases ortonormales para cualquier espacio euclidiano o hermitiano .
También podemos ortonormalizar la base canónica (1, X ,…) de ℝ [ X ] y así obtener una familia de polinomios ortogonales .
El método de Schmidt se puede utilizar en la descomposición QR de una matriz.

Proceso Gram-Schmidt

Definimos el operador de proyección ortogonal en una línea vectorial dirigida por el vector $u$ por:

{\ mathrm {proj}} _ {{{\ mathbf {u}}}} \, ({\ mathbf {v}}) = {\ langle {\ mathbf {u}}, {\ mathbf {v}} \ rangle \ over \ langle {\ mathbf {u}}, {\ mathbf {u}} \ rangle} {\ mathbf {u}}.

El proceso de Gram-Schmidt es entonces:

	${\ mathbf {u}} _ {1} = {\ mathbf {v}} _ {1},$		${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ mathbf {u} _ {1} \ over \ \| \ mathbf {u} _ {1} \ \|}}$
	${\ mathbf {u}} _ {2} = {\ mathbf {v}} _ {2} - {\ mathrm {proj}} _ {{{\ mathbf {u}} _ {1}}} \, ( {\ mathbf {vb}} _ {2}),$		${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {2} = {\ mathbf {u} _ {2} \ over \ \| \ mathbf {u} _ {2} \ \|}}$
	${\ mathbf {u}} _ {3} = {\ mathbf {v}} _ {3} - {\ mathrm {proj}} _ {{{\ mathbf {u}} _ {1}}} \, ( {\ mathbf {v}} _ {3}) - {\ mathrm {proj}} _ {{{\ mathbf {u}} _ {2}}} \, ({\ mathbf {v}} _ {3} ),$		${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {3} = {\ mathbf {u} _ {3} \ over \ \| \ mathbf {u} _ {3} \ \|}}$
	$\ vdots$		$\ vdots$
	${\ mathbf {u}} _ {k} = {\ mathbf {v}} _ {k} - \ sum _ {{j = 1}} ^ {{k-1}} {\ mathrm {proj}} _ {{{\ mathbf {u}} _ {j}}} \, ({\ mathbf {v}} _ {k}),$		${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {k} = {\ mathbf {u} _ {k} \ over \ \| \ mathbf {u} _ {k} \ \|}}$

Con :

$<,>$ , el producto escalar en el espacio considerado
$v 1 , ..., v k$ , un conjunto de vectores no relacionados
$u 1 , ..., u k$ , un conjunto de vectores ortogonales de dos por dos
$e 1 , ..., e k$ , un conjunto de vectores ortonormales de dos por dos

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Proceso Gram-Schmidt ” ( ver la lista de autores ) .

Matemáticas todo en uno. 2 º año MP , París, Dunod,2004, 2 nd ed. , 1279 p. ( ISBN 978-2-10-007576-8 , aviso BnF n o FRBNF39237416 ) , p. 569
(in) Ortogonalización de Gram-Schmidt en los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas (G)
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Métodos numéricos para el cálculo científico, Programas en Matlab , ed. Springer, 2000, pág. 83 y siguientes. Leer en línea
La convención elegida para el producto escalar hermitiano es aquí: linealidad a la derecha y semilinealidad a la izquierda.