Suite de composición

La noción de secuencia de composición es una noción de teoría de grupos . Permite, en un sentido que se especificará, considerar un grupo como "compuesto" por algunos de sus subgrupos .

Definiciones

Sea G un grupo ye su elemento neutro . Se llama serie de composición de G a cualquier secuencia finita ( G 0 , G 1 , ..., G r ) subgrupos de G tales que

{\ Displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq \ ldots \ supseteq G_ {r} = \ {e \}}

y que, para todo i ∈ {0, 1,…, r - 1}, G i +1 es un subgrupo normal de G i .
Los cocientes G i / G i +1 se denominan cocientes en la secuencia.

Deje Σ 1 = ( G 0 , G 1 , ..., G r ) y Σ 2 = ( H 0 , H 1 , ..., H s ) dos secuencias de composición G . Dicen que
- Σ 2 es un refinamiento de Σ 1 , o nuevamente que Σ 2 es más fino que Σ 1 , si Σ 1 se extrae de Σ 2 , es decir, si hay índices 0 = j (0) < j (1)… < j ( r ) = s tal que G i = H j ( i ) para todo i ∈ {1,…, r - 1}.
- Σ 1 y Σ 2 son equivalentes si r = sy si hay una permutación σ del conjunto {0, 1,…, r - 1} tal que para todo i en este conjunto, el cociente G i / G i +1 es isomorfo al cociente H σ ( i ) / H σ ( i ) +1 .
O Σ = ( G 0 , G 1 , ..., G r ) una serie de composición de G . Las tres condiciones siguientes son equivalentes:
a) Σ es estrictamente decreciente y no admite otro refinamiento estrictamente decreciente que él mismo;
b) los cocientes de Σ son todos grupos simples ;
c) para todo i ∈ [0, r - 1], G i +1 es un subgrupo distinguido máximo de G i (es decir, un elemento máximo , relativo a la inclusión, del conjunto de subgrupos propios distinguidos de G i ).
Llamada después de Jordan - Hölder una serie de composición que tiene las propiedades equivalentes a) ac).

Nota: los autores de habla inglesa llaman " series de composición " a lo que aquí se llama la suite Jordan-Hölder.

Algunos hechos

Para cualquier grupo G , la secuencia ( G , { e }) es una secuencia de composición. Es una secuencia de Jordan-Hölder si y solo si G es simple.
S 3 ⊃ A 3 ⊃ { e } es una secuencia de Jordan-Hölder.
Teorema de refinamiento de Schreier : para dos secuencias de composición del mismo grupo, siempre hay un refinamiento de la primera y un refinamiento de la segunda que son equivalentes.
Deducimos que si un grupo admite una secuencia de Jordan-Hölder, cualquier secuencia de composición estrictamente decreciente de este grupo admite un refinamiento que es una secuencia de Jordan-Hölder.
Si un grupo resoluble G admite una secuencia de Jordan-Hölder, cada grupo cociente de esta secuencia es simple y resoluble, por lo tanto, es cíclico de primer orden y, por lo tanto , G es finito. En particular, un grupo conmutativo infinito no admite una secuencia de Jordan-Hölder.
Cualquier grupo finito admite una secuencia de Jordan-Hölder.
Teorema de Jordan-Hölder : dos secuencias de Jordan-Hölder del mismo grupo son siempre equivalentes.

Generalización a grupos con operadores

Deje que el G ser un grupo con los operadores y ae su elemento neutro. Se denomina serie de composición de G a cualquier secuencia finita ( G 0 , G 1 , ..., G r ) de subgrupos estables de G tal que

{\ Displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq \ ldots \ supseteq G_ {r} = \ {e \}}

y que, para todo i ∈ {0, 1,…, r - 1}, G i +1 es un subgrupo normal de G i .
Los cocientes G i / G i +1 se denominan cocientes en la secuencia.

Una secuencia principal de un grupo puede considerarse como una secuencia Jordan-Hölder de un determinado grupo de operadores.

Notas y referencias

Definición conforme a N. Bourbaki , Álgebra I , París, coll. "Elementos de las matemáticas",1970, cap. I, § 4, n ° 7, def. 9, pág. 39, oa J. Calais , Elementos de la teoría de grupos , París,1984, p. 225O S. Lang, Álgebra , 3 ª edición revisada, París, 2004, p. 19.
se ajusta Definición a Bourbaki, op. cit. , cap. I, § 4, n ° 7, def. 9, pág. 39-40.
Denominación según Calais 1984 , p. 226.
Denominación de acuerdo con Bourbaki, op. cit. , p. I.40.
(in) DJS Robinson (de) , Un curso de teoría de grupos , Springer,1996, 2 nd ed. ( leer en línea ) , pág. 64, llamado "isomorfo".
No confunda con la noción de subgrupo máximo de un grupo .
Definición conforme a Bourbaki, op. cit. , cap. I, § 4, n ° 7, def. 10, pág. 41.
Ver, por ejemplo, Robinson 1996 , p. sesenta y cinco.
Véase, por ejemplo , Bourbaki, op. cit. , p. I.41-42.
Bourbaki, op. cit. , p. I.42.
Definición conforme a Bourbaki, op. cit. , cap. I, § 4, n ° 7, def. 9, pág. 39.

Ver también

Subgrupos de cadena ( pulgadas )