Subgrupo normal máximo

En la teoría de grupos , llamamos subgrupo normal máximo , o incluso subgrupo distinguido máximo , de un grupo G a cualquier elemento máximo del conjunto de subgrupos normales propios de G, ordenándose este conjunto por inclusión . (El término "subgrupo apropiado de G" se entenderá aquí como un subgrupo de G distinto de G. ) En otras palabras, un subgrupo normal máximo de G es un subgrupo normal apropiado H de G de manera que ningún subgrupo -grupo normal G es estrictamente entre H y G .

Algunas propiedades

• Si G denota un grupo simple , el subgrupo de G reducido al elemento neutral es un subgrupo normal máximo de G (y es el único).
• Un subgrupo normal H de un grupo G es un subgrupo normal máximo de G si y solo si el cociente del grupo G / H es simple. Por lo tanto, los subgrupos normales máximos juegan un papel en las secuencias de Jordan-Hölder
• Un subgrupo máxima normal de un grupo G no es necesariamente un subgrupo maximal de G . Por ejemplo, 1 es un subgrupo normal máximo del grupo simple A 5 , pero no es un subgrupo máximo del mismo, porque A 5 obviamente contiene subgrupos propios no reducidos al elemento neutral.
• Si un subgrupo máxima H de un grupo G es normal, H es, obviamente, un subgrupo máxima normal de G .
• Si G es un grupo resoluble , cada subgrupo máximo normal de G es un subgrupo máximo G . (Sea M un subgrupo normal máximo de G. Entonces G / M es simple y resoluble, por lo que es finito de primer orden. Según la fórmula del índice , esto implica que M es un subgrupo máximo de G. ) De acuerdo con la anterior En este punto, se deduce que en un grupo solucionable, las nociones de subgrupo normal máximo y subgrupo normal máximo coinciden.
• Sea G un grupo nilpotente . Entonces, cualquier subgrupo máximo de G es normal en G y, por lo tanto, es un subgrupo normal máximo de G ; a la inversa, si H es un subgrupo normal máximo de G , entonces, dado que cualquier grupo nilpotente se puede resolver, H es un subgrupo máximo de G del punto anterior. Por lo tanto, en un grupo nilpotente, las nociones de subgrupo normal máximo, subgrupo máximo y subgrupo normal máximo coinciden.

Notas y referencias

1. Definición de acuerdo con J. Calais, Elementos de la teoría de grupos , París, PUF, 1984, p. 159.
2. J. Calais, Elementos de la teoría de grupos , París, PUF, 1984, p. 160.
3. JS Rose, Un curso de teoría de grupos , 1978, repr. Dover, 1994, pág. 267.
4. Véase, por ejemplo, WR Scott, Group Theory , 1964, repr. Dover, 1987, pág. 143.