Subdivisión de un intervalo

En matemáticas , una subdivisión de un segmento [ a , b ] de la línea real es una secuencia finita de la forma

Tales subdivisiones se utilizan en las teorías de la integral de Riemann , la integral de Stieltjes y la integral de una función regulada .

Vocabulario

• Se dice que tal subdivisión está adaptada a una función de escalera f en [ a , b ] si f es constante en cada subintervalo] x i - 1 , x i [, para i = 1,…, n .
• Un refinamiento de una subdivisión P es una subdivisión Q del mismo intervalo, formada por la suma de puntos. Entonces decimos que Q es más fino que P. Por tanto, definimos un orden parcial en las subdivisiones de un intervalo.
• El refinamiento común de dos subdivisiones es la subdivisión formada al tomar la unión de los dos conjuntos de puntos y renumerarlos en orden ascendente.
• Una marca de una subdivisión x 0 < x 1 < x 2 <... < x n son los datos adicionales de un punto en cada subintervalo, es decir de los puntos t i ∈ [ x i - 1 , x i ], para i = 1,…, n . A cualquier función f sobre un intervalo y cualquier subdivisión marcada de este intervalo se le asocia una suma de Riemann .
• En cuanto a las subdivisiones, definimos un orden parcial natural en las subdivisiones marcadas.
• El paso de una subdivisión x 0 < x 1 < x 2 <... < x n es la mayor de las longitudes de los subintervalos, es decir: max {| x i - x i - 1 | : i = 1,…, n }. La integral de Riemann de f es (si existe) el límite de las sumas de Riemann cuando el paso tiende a 0.

Generalización en dimensiones superiores

Para definir múltiples integrales de Riemann, la generalización en la dimensión n ...

• … De un segmento es un bloque cerrado , es decir, un producto P = I 1 ×… × I n de n segmentos I j = [ a j , b j ] (por ejemplo, un paralelogramo si n = 2 o un paralelepípedo si n = 3 ).
• El volumen de P es el producto de las longitudes de estos segmentos: vol ( P ) = ∏ 1 ≤ j ≤ n ( b j - a j ).
• El diámetro de P es el máximo de estas longitudes: δ ( P ): = max 1 ≤ j ≤ n ( b j - a j ).
• El interior de P es el producto de bloques abiertos de intervalos abiertos acotados ] a j , b j [.
• Una subdivisión de P es un conjunto finito u = ( P k ) 1 ≤ k ≤ M bloques cerrados cuyos interiores son disjuntos y cuyo montaje es igual a P . Entonces tenemos: vol ( P ) = ∑ 1 ≤ k ≤ M vol ( P k ).
• El paso de u es δ ( u ): = max 1 ≤ k ≤ M δ ( P k ).
• Una marca de u es la elección de un punto en cada P k .
• Un refinamiento de u es una subdivisión v = ( Q ℓ ) 1 ≤ ℓ ≤ N tal que cada P k es una unión de algún Q ℓ .

Referencias

, cuya referencia era (en) Russell A. Gordon , The Integrals of Lebesgue , Denjoy , Perron y Henstock  (en) , AMS , coll.  "  GSM  " ( n o  4)1994, 395  p. ( ISBN  978-0-8218-3805-1 , leer en línea ).

1. "  Riemann1854, párrafo IV  " , en culturemath.ens.fr
2. Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Matemáticas todo en uno para la licencia 3 , Dunod ,2015( leer en línea ) , pág.  127-129.