Convocatorias de Mittag-Leffler

En matemáticas , la suma de Mittag-Leffler es una variante de la suma de Borel para sumar ciertas series divergentes completas , que fue introducida por Gösta Mittag-Leffler .

Definición

{\ Displaystyle y (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} y_ {k} z ^ {- k}}

una serie formal de la variable $z$ .

Definimos la transformada de $y$ por: ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ alpha}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ alpha} y (t) \ equiv \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {y_ {k}} {\ Gamma (1+ \ alpha k)}} t ^ {k}.}

La suma de Mittag-Leffler de y viene dada, si cada suma converge y el límite existe, por:

{\ Displaystyle \ lim _ {\ alpha \ rightarrow 0} {\ mathcal {B}} _ {\ alpha} y (z).}

Un método de suma estrechamente relacionado, también llamado sumatoria de Mittag-Leffler, se da de la siguiente manera: supongamos que, en la vecindad de 0, la transformada de Borel converge en una función analítica que puede extenderse analíticamente a lo largo del eje real positivo en un crecimiento suficientemente lento. función de modo que la siguiente integral esté bien definida (se trata de una integral impropia ). La suma de Mittag-Leffler de $y$ viene dada por

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- t} {\ mathcal {B}} _ {\ alpha} y (t ^ {\ alpha} z) \, {\ rm {d}} t.}

Cuando $α = 1$ , encontramos la suma de Borel .

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Resumen de Mittag-Leffler ” ( ver lista de autores ) .

G. Mittag-Leffler, "Sobre la representación aritmética de las funciones analíticas de una variable compleja" , en Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6-11 de abril de 1908) , vol. I,1908( leer en línea ) , pág. 67-86.
(in) II Volkov , "Método de suma de Mittag-Leffler" en Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
(in) Giovanni Sansone y Johan Gerretsen sobre las lecturas de la teoría de funciones de una variable compleja , vol. I: Funciones holomórficas , Groningen, P. Noordhoff,1960( Revisiones de matemáticas 0113988 ).

Ver también

Función Mittag-Leffler