En matemáticas , el razonamiento por análisis-síntesis es un método para determinar el conjunto de soluciones a un problema y para escribir una prueba de esta resolución.
El razonamiento por análisis-síntesis se desarrolla en dos etapas:
A menudo sucede que la fase de análisis produce condiciones necesarias tan restrictivas que queda un solo "candidato" que las verifica: en este caso, esta primera fase prueba la unicidad de la solución, si es que existe. La fase de análisis también puede conducir a una contradicción: en este caso, esto demuestra que el problema no tiene solución. Posteriormente, la fase de síntesis permite mostrar o la existencia de varias soluciones, o de una única solución (si solo funciona una de las candidatas), o que no hay solución (si ninguna candidata funciona).
Cuanto más completo sea el análisis, menor será el número de candidatos que se probarán para la síntesis. En el caso de figura, frecuente, donde el análisis se empuja al máximo, todos los candidatos son soluciones durante la síntesis. Este escenario de análisis-síntesis “completo” puede verse entonces como una doble inclusión de un conjunto: el conjunto A de soluciones se incluye en un determinado conjunto B (análisis), luego este conjunto B está formado por soluciones (síntesis). Así, aunque procedamos por análisis-síntesis durante la fase de investigación (en borrador), es posible escribir la demostración limpiamente por doble inclusión. Esto explica por qué, aunque el análisis-síntesis es un método muy práctico para resolver problemas, rara vez se usa para escribir pruebas en libros.
Para saber más: Joseph Rémi Léopold Delbœuf , Philosophical Prolégomènes de la géometry et solution des postlates, J. Desoer,1860, "Análisis y síntesis en matemáticas", p. 104 a 117 .