Cuaternión hiperbólico

El álgebra del cuaternión hiperbólico es un objeto matemático promovido desde 1890 por Alexander Macfarlane (en) . La idea se dejó de lado, debido a la no asociatividad de la multiplicación, pero se retoma en el espacio de Minkowski . Como los cuaterniones de Hamilton, es un álgebra real de dimensión $4$ .

Una combinación lineal:

{\ Displaystyle q = a + b \ mathrm {i} + c \ mathrm {j} + d \ mathrm {k}}

es un cuaternión hiperbólico si y son números reales, y las unidades son tales que: $A B C$ $D$ ${\ Displaystyle 1, \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ mathrm {i} \ mathrm {j} = - \ mathrm {j} \ mathrm {i} = \ mathrm {k} \\\ mathrm {j} \ mathrm {k} = - \ mathrm {k} \ mathrm {j} = \ mathrm {i} \\\ mathrm {k} \ mathrm {i} = - \ mathrm {i} \ mathrm {k} = \ mathrm {j} \\\ mathrm {i} ^ {2} = \ mathrm {j} ^ {2} = \ mathrm {k} ^ {2} = \ mathrm {i} \ mathrm {j} \ mathrm {k} = + 1 \ end { casos}}}$

Es :

$\ cdot$	$1$	${\ mathrm {i}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {j}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {k}}$
$1$	$1$	${\ mathrm {i}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {j}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {k}}$
${\ mathrm {i}}$	${\ mathrm {i}}$	$1$	${\ Displaystyle \ mathrm {k}}$	${\ Displaystyle - \ mathrm {j}}$
${\ Displaystyle \ mathrm {j}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {j}}$	${\ Displaystyle - \ mathrm {k}}$	$1$	${\ mathrm {i}}$
${\ Displaystyle \ mathrm {k}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {k}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {j}}$	${\ Displaystyle - \ mathrm {i}}$	$1$

La diferencia entre cuaterniones y cuaterniones hiperbólicos es, por tanto, el valor del cuadrado . Es válido para cuaterniones y para cuaterniones hiperbólicos. ${\ Displaystyle \ mathrm {i} ^ {2} = \ mathrm {j} ^ {2} = \ mathrm {k} ^ {2} = + 1}$ $-1$ $+1$

Aunque estas unidades no respetan la asociatividad, el conjunto forma un cuasigrupo . ${\ Displaystyle \ {1, \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k}, -1, - \ mathrm {i}, - \ mathrm {j}, - \ mathrm {k} \} }$

Ejemplo de no asociatividad: while . ${\ Displaystyle \ left (\ mathrm {i} \ mathrm {j} \ right) \ mathrm {j} = \ mathrm {k} \ mathrm {j} = - \ mathrm {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {i} \ left (\ mathrm {j} \ mathrm {j} \ right) = \ mathrm {i} \ times 1 = \ mathrm {i}}$

Si definimos el conjugado de por $q ^ {*}$ $q$

{\ Displaystyle q ^ {*} = ab \ mathrm {i} -c \ mathrm {j} -d \ mathrm {k}}

entonces el producto

{\ Displaystyle \ | q \ |: = qq ^ {*} = a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2}}

es la forma cuadrática utilizada en el espacio de Minkowski, para la convención .

{\ Displaystyle + ---}

Sea un punto en el espacio-tiempo y su conjugado. es el cuadrado de la pseudo-norma de en el espacio de Minkowski. ${\ Displaystyle X (\ mathrm {c} t, x, y, z)}$ ${\ Displaystyle X ^ {*} (\ mathrm {c} t, x, y, z)}$ ${\ Displaystyle \ | X \ | = \ mathrm {c} ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}$ $X$

Cuaternión hiperbólico

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