Potencial cuadrivector

En física , el potencial de cuatro vectores o cuadri-potencial o indicador de campo , denotado en general con índice silencioso es un vector con cuatro componentes definidos por donde denota el potencial escalar (también denotado V ), c la velocidad de la luz en el vacío , y el potencial vectorial que depende de la elección del sistema de coordenadas. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas , este último está representado por , lo que hace total para el vector cuádruple . ${\ Displaystyle A ^ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle \ mu = 0,1,2,3}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ phi} {c}} \\ {\ vec {A}} \ end {pmatrix}}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$ ${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} {\ frac {\ phi} {c}} \\ A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}$

Se utiliza en particular en relatividad especial y en mecánica cuántica relativista .

Definiciones

El cuadri-potencial depende de las coordenadas del espacio-tiempo, ya sea donde está el cuadri-vector espacio-tiempo, o en coordenadas cartesianas . Finalmente, se escribe el campo de calibre . En cartesiano, obtenga la extensión completa ${\ Displaystyle A ^ {\ mu} = A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu})}$ ${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ begin {pmatrix} ct \\ {\ vec {r}} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ begin {pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = {\ begin {pmatrix} \ phi ({\ vec {r}}, t) / c \\ {\ vec {A}} ({ \ vec {r}}, t) \ end {pmatrix}}}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = {\ begin {pmatrix} \ phi (x, y, z, t) / c \\ A_ {x} (x, y, z, t) \\ A_ {y} (x, y, z, t) \\ A_ {z} (x, y, z, t) \ end {pmatrix}}}$

El potencial escalar se define por ${\ Displaystyle \ phi (x ^ {\ nu}) = \ phi ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int _ { V '} {\ frac {\ rho ({\ vec {r'}}, t ') | _ {t' = t- | {\ vec {r}} - {\ vec {r '}} | / c }} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r '}} |}} dV'}$

El potencial vectorial se define por ${\ Displaystyle {\ vec {A}} (x ^ {\ nu}) = {\ vec {A}} ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} { 4 \ pi}} \ int _ {V '} {\ frac {{\ vec {j}} ({\ vec {r'}}, t ') | _ {t' = t- | {\ vec {r }} - {\ vec {r '}} | / c}} {| {\ vec {r}} - {\ vec {r'}} |}} dV '}$

donde denota la densidad de carga y la densidad de corriente en el volumen V ' considerado. El tiempo t ' designa el tiempo de retraso o tiempo al nivel de la fuente desde que el campo se propaga a la velocidad c , por lo tanto, el campo emitido por la fuente en el tiempo t' se sentirá en ese momento . ${\ Displaystyle \ rho ({\ vec {r '}}, t')}$ ${\ Displaystyle {\ vec {j}} ({\ vec {r '}}, t')}$ ${\ Displaystyle {\ vec {r '}}}$ $\ vec {r}$ ${\ Displaystyle t = t '+ | {\ vec {r}} - {\ vec {r'}} | / c}$

Ecuaciones

De las ecuaciones relativistas de Maxwell , si elegimos el indicador de Lorenz , que se puede definir por , o terminamos con las siguientes 4 ecuaciones: ${\ Displaystyle \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial t}} + {\ text {div}} {\ vec {A}} = 0}$

{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ alpha} \ parcial ^ {\ alpha} A ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ mu _ {0} J ^ {\ mu} (x ^ {\ nu })}

${\ estilo de exhibición \ parcial _ {\ alpha} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {\ alpha}}} = \ izquierda ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}}, {\ vec {\ nabla}} \ derecha)}$ denota el cuadrivector de gradiente covariante y su equivalente contravariante . De hecho, con la métrica de Minkowski en la firma (+, -, -, -). ${\ estilo de visualización \ parcial ^ {\ alpha} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \\ - {\ vec {\ nabla} } \ end {pmatrix}}}$ ${\ estilo de visualización \ parcial ^ {\ alpha} = \ suma _ {\ beta = 0} ^ {3} \ eta ^ {\ alpha \ beta} \ parcial _ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle \ eta ^ {\ alpha \ beta}}$
La repetición de los índices implica la suma de los términos según la convención de Einstein . Esto conlleva aquello que no es otro que el operador alerta . ${\ Displaystyle x _ {\ mu} y ^ {\ mu} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} x _ {\ mu} y ^ {\ mu}}$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {\ alpha} \ parcial ^ {\ alpha} = \ Caja = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2}}} - \ Delta}$
${\ Displaystyle \ mu _ {0} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} c ^ {2}}}}$ denota la permeabilidad del vacío
${\ Displaystyle J ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ rho _ {0} V ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = \ rho _ {0} \ gamma (c, {\ vec {v}}) = \ gamma (c \ rho _ {0}, {\ vec {j_ {0}}}) = (c \ rho, {\ vec {j}})}$ representa el cuadrivector de densidad de corriente .

Pues encontramos la ecuación que corresponde a la ecuación de Maxwell en el vacío . $\ mu = 0$ ${\ Displaystyle \ cuadrado \ phi = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$ ${\ displaystyle {\ text {div}} {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$

En efecto, ${\ Displaystyle \ cuadrado \ phi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial t ^ {2}}} - \ Delta \ phi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial t ^ {2}}} - {\ text {div}} ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi) = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} ({\ text {div}} {\ vec {A}}) - {\ text {div} } ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi) = {\ text {div}} \ left (- {\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi - {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}} \ right) = {\ text {div}} {\ vec {E}}}$

Pues encontramos la ecuación que corresponde a la ecuación de Maxwell en el vacío . ${\ Displaystyle \ mu = 1,2,3}$ ${\ Displaystyle \ cuadrado {\ vec {A}} = \ mu _ {0} {\ vec {j}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {H}} = {\ vec {j}} + {\ frac {\ parcial {\ vec {D}}} {\ parcial t}} }$

En efecto, ${\ Displaystyle \ cuadrado {\ vec {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ parcial t ^ {2}}} - \ Delta {\ vec {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {A}}} {\ t parcial ^ {2}}} + {\ vec {\ text {rot}}} ({\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {A}}) - {\ vec {\ text {grad} }} ({\ text {div}} {\ vec {A}}) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {A}} } {\ t parcial ^ {2}}} + {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ vec { \ text {grad}}} ({\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial t}}) = {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} + {\ frac {1 } {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left ({\ vec {\ text {grad}}} \ \ phi + {\ frac {\ partial {\ vec { A}}} {\ parcial t}} \ right) = {\ vec {\ text {rot}}} \ {\ vec {B}} - \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac { \ parcial {\ vec {E}}} {\ parcial t}} = \ mu _ {0} \ left ({\ vec {\ text {rot}}} {\ vec {H}} - {\ frac {\ parcial {\ vec {D}}} {\ parcial t}} \ derecha)}$

Propiedades bajo transformación de Lorentz

Cualquier vector con cuatro componentes no necesariamente define un cuadrivector en física relativista. La base es el principio de relatividad combinado con la constante de la velocidad de la luz en el vacío, lo que da como resultado que cualquier cuadrivector debe transformarse según la transformación de Lorentz (simbolizada por el tensor de Lorentz ) por cambio de repositorio galileano. Por lo tanto, al cambiar el repositorio, o las coordenadas se transforman mediante la transformación de Lorentz y el cuadrivector permanece sin cambios, o las coordenadas permanecen sin cambios, pero entonces este es el cuatro-vector que se transforma, ambas operaciones conducen al mismo resultado . Del mismo modo, si es un cuadrivector, entonces sigue siendo un cuadrivector ya que la física permanece sin cambios por el cambio de marco de referencia (independiente del observador). Para obtener ejemplos de cálculos, consulte el artículo cálculos relativistas . ${\ displaystyle {\ Lambda {} ^ {\ mu}} _ {\ nu}}$ ${\ Displaystyle P ^ {\ mu} (x ^ {\ nu}) = P ^ {\ mu} (\ Lambda _ {\ xi} ^ {\ nu} x ^ {\ xi}) = \ Lambda _ {\ xi} ^ {\ mu} P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$ ${\ Displaystyle P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ xi} ^ {\ mu} P ^ {\ xi} (x ^ {\ nu})}$

El d'Alembertian es un operador diferencial que tiene la propiedad de permanecer inalterado cuando cambiamos el marco de referencia en la relatividad especial. En términos más matemáticos, es invariante por la transformación de Lorentz . De hecho, por definición ,, dado que el cuadrivector de gradiente obedece a la propiedad anterior de un cuadrivector, por cambio de coordenadas, sigue siendo un cuadrivector de gradiente, pero la cantidad da exactamente la misma expresión del d'Alembertian. Gracias a esta propiedad, también mostramos que las ecuaciones de Maxwell permanecen invariantes por la transformación de Lorentz. ${\ Displaystyle \ cuadrado = \ parcial _ {\ mu} \ parcial ^ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} \ parcial ^ {\ nu} \ parcial ^ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} \ parcial ^ {\ rho}}$ ${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} ({\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} \ parcial ^ {\ rho}) ({\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ sigma} \ parcial ^ {\ sigma}) = (\ eta _ {\ mu \ nu} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ rho} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ sigma}) \ parcial ^ {\ rho} \ parcial ^ {\ sigma} = \ eta _ {\ sigma \ rho} \ parcial ^ {\ rho} \ parcial ^ {\ sigma} = \ parcial _ {\ sigma} \ parcial ^ {\ sigma } = \ cuadrado}$

Potencial cuadrivector

Definiciones

Ecuaciones

Propiedades bajo transformación de Lorentz

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