Problema de convergencia (matemáticas)
En matemáticas, y más precisamente en la teoría analítica de fracciones continuas generalizadas con coeficientes complejos , el problema de convergencia es la determinación de condiciones sobre los numeradores parciales a i y los denominadores parciales b i que son suficientes para garantizar la convergencia de la fracción continua
B0+a1B1+a2B2+a3B3+⋱{\ displaystyle b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ { 3} + \ ddots}}}}}}}, ahora anotado en este artículo B0+a1∣∣B1+a2∣∣B2+a3∣∣B3+⋯,{\ Displaystyle b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}}} + \ cdots,}
es decir, la convergencia de la secuencia de sus reducciones
B0+a1∣∣B1+a2∣∣B2+...+ano∣∣Bno.{\ Displaystyle b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ ldots + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid b_ {n}}}.}
Resultados básicos
Condición necesaria y suficiente para la convergencia
Por definición, la fracción converge si y solo si los B n son distintos de cero de un cierto rango y la serie de términos generales
AnoBno-Ano-1Bno-1=(-1)no-1a1...anoBno-1Bno{\ Displaystyle {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} - {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = (- 1) ^ {n-1 } {\ frac {a_ {1} \ ldots a_ {n}} {B_ {n-1} B_ {n}}}}
converge , donde A n y B n denotan los numeradores y denominadores de las reducciones, y la igualdad anterior se deduce de las fórmulas de las reducciones . Además, si los complejos a n y b n son funciones de una variable z y si la convergencia de la serie es uniforme con respecto a z , es naturalmente igual para la convergencia de la fracción continua.
Teoremas de Stern-Stolz y Seidel-Stern
Si todos los numeradores parciales de un n no son cero, fácilmente nos reducimos a nosotros mismos por la conversión al caso en que son iguales a 1. Se dice entonces que la fracción es regular.
Para una fracción regular, tenemos el aumento
|Bno|≤(1+|B1|)...(1+|Bno|).{\ Displaystyle | B_ {n} | \ leq (1+ | b_ {1} |) \ ldots (1+ | b_ {n} |).}
Según el criterio anterior, una condición necesaria para que esta fracción converja es, por tanto, que el producto infinito de (1 + | b n |) diverja o, lo que es equivalente, que la serie de | b n | diverge: este es el teorema de Stern - Stolz .
Para una fracción con coeficientes complejos, esta condición necesaria de convergencia no es suficiente: por ejemplo, la fracción del período 1
1∣∣I+1∣∣I+1∣∣I+⋯{\ Displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + \ cdots}
no converge, aunque el término general serie | yo | = 1 es aproximadamente divergente .
Sin embargo, para una fracción regular cuyos denominadores parciales b n son reales estrictamente positivos, esta condición necesaria también es suficiente: es el teorema de Seidel- Stern. En efecto, en este caso, se alterna la serie equivalente a la fracción y las fórmulas de recurrencia en el B n permiten bajarlas:
B2no≥B1(B2+B4+...+B2no) y B2no+1≥B1+B3+...+B2no+1.{\ Displaystyle B_ {2n} \ geq b_ {1} (b_ {2} + b_ {4} + \ ldots + b_ {2n}) {\ text {y}} B_ {2n + 1} \ geq b_ {1 } + b_ {3} + \ ldots + b_ {2n + 1}.}
Convergencia condicional e incondicional
A diferencia de una serie, una fracción
B0+a1∣∣B1+a2∣∣B2+⋯{\ Displaystyle b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots}
muy bien puede ser convergente sin sus "fracciones extraídas"
Bno-1+ano∣∣Bno+ano+1∣∣Bno+1+⋯{\ Displaystyle b_ {n-1} + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid b_ {n}}} + {\ frac {a_ {n + 1} \ mid} {\ mid b_ {n +1}}} + \ cdots}
todos son. Por ejemplo :
1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=0{\ Displaystyle 1 + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2 }} + \ cdots = 0}
Entonces
1+1∣∣1+1∣∣1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=1+1∣∣1+1∣∣0=1{\ Displaystyle 1 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots = 1 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 0}} = 1}
Pero
1+1∣∣1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=+∞.{\ Displaystyle 1 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2} } + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots = + \ infty.}
Se dice que una fracción convergente es incondicionalmente convergente cuando todas sus "fracciones extraídas" convergen, y condicionalmente convergente en caso contrario. En adelante, salvo que se especifique lo contrario, cuando hablemos de convergencia de una fracción continua generalizada, será implícitamente la noción “buena”: la de convergencia incondicional que, por definición, es heredada por las “fracciones extraídas”.
La convergencia hacia x de una fracción es incondicional si y solo si ninguno de sus reductores es igual ax .
Fracciones continuas periódicas
Una fracción continua periódica (cuyo caso particular es el correspondiente a un irracional cuadrático ) es una fracción continua cuyas dos series de numeradores parciales y denominadores parciales son, desde cierto rango, periódicas , y cuyos numeradores parciales no son cero. Para estudiarlos, es obviamente suficiente con concentrarse en los llamados "puramente periódicos" con además b 0 = 0, es decir, los de la forma
X=a1∣∣B1+a2∣∣B2+⋯+ak∣∣Bk+a1∣∣B1+a2∣∣B2+⋯+ak∣∣Bk+⋯.{\ Displaystyle x = {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {k} \ mid} {\ mid b_ {k}}} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {k} \ mid} {\ mid b_ {k}}} + \ cdots.}Aplicando la teoría de las transformaciones de Moebius a
s(w)=Ak-1w+AkBk-1w+Bk{\ Displaystyle s (w) = {\ frac {A_ {k-1} w + A_ {k}} {B_ {k-1} w + B_ {k}}}}
donde A k –1 , B k –1 , A k y B k son los numeradores y denominadores de las reducciones de índices k - 1 yk de x , mostramos que si x converge, converge a uno de los puntos fijos de s ( w ). Más precisamente, sean r 1 y r 2 las raíces de la ecuación cuadrática
Bk-1w2+(Bk-Ak-1)w-Ak=0,{\ Displaystyle B_ {k-1} w ^ {2} + (B_ {k} -A_ {k-1}) w-A_ {k} = 0,}
que son los puntos fijos de s ( w ). Si B k –1 no es cero, x converge ar 1 si y solo si
-
r 1 = r 2 o
- el reducido de índice k - 1 está más cerca de r 1 que de r 2 y, si k ≥ 2, ninguno de los anteriores reducidos k - 1 (de índices 0,…, k - 2) es igual a r 2 .
Si B k –1 es cero, todos los B nk –1 también desaparecen y la fracción continua no converge. Cuando no se cumple ninguna de las dos condiciones anteriores, la secuencia de reducciones oscila sin converger.
Caso especial donde el período es igual a 1
Si el período k es igual a 1, es decir si
X=a∣∣B+a∣∣B+a∣∣B+⋯{\ Displaystyle x = {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + \ cdots}
(con b distinto de cero), entonces A 0 / B 0 = 0/1 = 0, A 1 / B 1 = a / b y la ecuación anterior se convierte en: w 2 + bw - a = 0, que no es otra que
w=aB+w.{\ Displaystyle w = {\ frac {a} {b + w}}.}
Del resultado anterior, x converge ar 1 si y solo si r 1 = r 2 o | r 1 | <| r 2 |.
La condición de la fracción
y: =B+X=B+a∣∣B+a∣∣B+a∣∣B+⋯{\ Displaystyle y: = b + x = b + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + \ cdots}
converger es, por supuesto, el mismo, y su límite es entonces b + r 1 , es decir, esta vez (ya que r 1 + r 2 = - b ) la raíz del módulo más grande de la ecuación v 2 - bv - a = 0, que es nada menos que
v=B+av.{\ Displaystyle v = b + {\ frac {a} {v}}.}
Prueba elemental directa
Los numeradores y denominadores de las reducciones forman aquí una secuencia lineal recurrente de orden 2 (la misma, excepto por un desplazamiento: A n = B n +1 ):
B-1=0,B0=1,Bno=BBno-1+aBno-2.{\ Displaystyle B _ {- 1} = 0, \ quad B_ {0} = 1, \ quad B_ {n} = bB_ {n-1} + aB_ {n-2}.}
El estudio general de secuencias recurrentes lineales muestra que surgen dos casos:
-
si la ecuación v 2 - bv - a = 0 tiene dos raíces distintas δ 1 y δ 2 :
Si denotamos por δ 1 la mayor de las dos raíces en módulo, entonces δ 1 es necesariamente distinto de cero, lo que permite definir el número complejo ω = δ 2 / δ 1 (diferente de 1) y escribir:
∀no∈NO∪{-1}Bno=δ1no+1-δ2no+1δ1-δ2=δ1no1-ωno+11-ω.{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {- 1 \} \ quad B_ {n} = {\ frac {\ delta _ {1} ^ {n + 1} - \ delta _ {2 } ^ {n + 1}} {\ delta _ {1} - \ delta _ {2}}} = \ delta _ {1} ^ {n} {\ frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega}}.}
Este caso luego se divide en dos:
- Las raíces son módulos separados:
En este caso, ω es de módulo estrictamente menor que 1, por lo tanto, ω n tiende hacia 0, y la secuencia del reducido converge hacia δ 1 porque
Ano-1Bno-1=BnoBno-1=δ11-ωno+11-ωno.{\ Displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = {\ frac {B_ {n}} {B_ {n-1}}} = \ delta _ {1} { \ frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega ^ {n}}}.}
- Las raíces son del mismo módulo:
En este caso, ω es de módulo 1. Si es una
raíz de la unidad , de orden m , entonces la secuencia de las reducidas es divergente porque periódica de período m > 1, siendo uno de sus m valores el mismo indefinido (con denominador cero). Si ω no es una raíz de la unidad, la secuencia (ω n ) es
densa en el círculo unitario y la secuencia de reducciones también es divergente porque
Ano-1Bno-1=δ11-ωno+11-ωno=δ1(1-ω1-ωno+ω).{\ Displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = \ delta _ {1} {\ frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega ^ {n}}} = \ delta _ {1} \ left ({\ frac {1- \ omega} {1- \ omega ^ {n}}} + \ omega \ right).}
-
si la ecuación v 2 - bv - a = 0 tiene una raíz doble δ (no cero):∀no∈NO∪{-1}Bno=(no+1)δno.{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {- 1 \} \ quad B_ {n} = (n + 1) \ delta ^ {n}.}
Ano-1Bno-1=BnoBno-1=(no+1)δnonoδno-1=δ(1+1no)→δ.{\ Displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = {\ frac {B_ {n}} {B_ {n-1}}} = {\ frac {(n + 1) \ delta ^ {n}} {n \ delta ^ {n-1}}} = \ delta \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ to \ delta.}La secuencia de reducciones converge a la raíz única.
Al establecer z = un / b 2 , la convergencia de x y y , por tanto, tiene lugar si y sólo si las dos raíces cuadradas de 1 + 4 z son o bien iguales o no equidistante de 1, es decir, si y sólo si z no es un verdadero <−1/4.
En particular, la fracción
1∣∣B+1∣∣B+1∣∣B+⋯{\ Displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + \ cdots }
converge si y solo si 1 / b 2 no es un real <−1/4, es decir, si el complejo b (se supone que no es cero) no pertenece al intervalo imaginario puro ] −2 i , 2i [ .
La convergencia era predecible para b real positivo, según el teorema de Seidel-Stern visto anteriormente (y para b de módulo mayor o igual a 2, según el criterio de Śleszyński-Pringsheim a continuación).
Criterio de Śleszyński-Pringsheim
A finales del siglo XIX, Ivan Śleszyński (en) y Alfred Pringsheim demostraron que si los numeradores y denominadores parciales verifican | b n | ≥ | a n | + 1 para n ≥ 1, entonces
∀NO∈NO∑no=1NO|a1...anoBno-1Bno|<1{\ Displaystyle \ forall N \ in \ mathbb {N} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {a_ {1} \ ldots a_ {n}} {B_ {n- 1} B_ {n}}} \ right | <1}
por lo tanto ( cf. § “Condición necesaria y suficiente de convergencia” arriba) la fracción
a1∣∣B1+a2∣∣B2+⋯{\ Displaystyle {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots}
converge y sus reducciones son de módulo estrictamente menor que 1. Usando fracciones del período 1 , también podemos demostrar que el "conjunto límite de fracciones de Śleszyński-Pringsheim" - es decir, el conjunto de todos los límites de fracciones que satisfacen las hipótesis de este teorema - es exactamente el disco unitario cerrado .
Teorema de Worpitzky
Anteriormente (en 1865), Julius Worpitzky (de) había demostrado, en lo que parece ser "la publicación más antigua de una disertación en la convergencia de fracciones continuas algebraicas" , que si los numeradores parciales una n de la fracción continua
a1∣∣1+a2∣∣1+a3∣∣1+⋯{\ Displaystyle {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}
son tales que | a n | ≤ 1/4 entonces la fracción converge, uniformemente con respecto a z si los complejos a n son funciones de una variable z .
Este teorema se puede deducir hoy del de Śleszyński-Pringsheim, por la equivalencia de fracciones
2a1∣∣1+a2∣∣1+a3∣∣1+⋯=4a1∣∣2+4a2∣∣2+4a3∣∣2+⋯.{\ Displaystyle {\ frac {2a_ {1} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots = {\ frac {4a_ {1} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {4a_ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac { 4a_ {3} \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots.}
Permitió que Worpitzky mostrara que si
F(z)=1∣∣1+vs2z∣∣1+vs3z∣∣1+vs4z∣∣1+⋯{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {c_ {2} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {c_ {3} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {c_ {4} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}y si | c i | ≤ 1/4 para todo i , entonces, para | z | ≤ 1, la fracción f ( z ) converge uniformemente, por lo que f es holomórfica en el disco unitario abierto .
Es inmediato que además, todos los reductores de f ( z ) pertenecen al disco abierto Ω de radio 2/3 centrado en 4/3 y que el límite establecido es el disco cerrado Ω .
También podemos mostrar que 1/4 es el mayor límite superior de | c i | para lo cual siempre tiene lugar la convergencia de f (1).
Teorema de Van Vleck
Jones y Thron atribuyen a Edward Burr Van Vleck (in) el siguiente resultado, que generaliza el teorema de Seidel-Stern . Si todo un i son 1, y si todo b i tiene argumentos de tal manera que
-π/2+ε<arg(BI)<π/2-ε,{\ Displaystyle - \ pi / 2 + \ varepsilon <\ arg (b_ {i}) <\ pi / 2- \ varepsilon,}
donde ε es un número positivo fijo menor que π / 2 (en otras palabras, si todos los b i están en un sector angular de apertura π - 2ε y simétricos alrededor del eje de reales positivos), entonces el i -ésimo f i reducido de la fracción continua se ubica en el mismo sector, es decir, satisface
-π/2+ε<arg(FI)<π/2-ε.{\ Displaystyle - \ pi / 2 + \ varepsilon <\ arg (f_ {i}) <\ pi / 2- \ varepsilon.}
En este caso, las secuencias de reducciones de índice par y de reducciones de índice impar convergen, pero no necesariamente hacia el mismo límite; su límite es común (y luego la fracción continua converge) si y solo si la serie de | b n | es divergente.
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Problema de convergencia " ( consulte la lista de autores ) .
-
(de) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner ,1913( leer en línea ) , "Divergenz Kriterien von Broman und Stern".
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(en) William B. Jones y WJ Thron , Fracciones continuas: teoría y aplicaciones analíticas , Addison-Wesley , al. "Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones" ( n o 11)1980( ISBN 978-0-201-13510-7 ) , pág. 79.
-
(De) A. Pringsheim , Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre , vol. I,1921, cap. 3, pág. 846 y 966.
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Ver también (in) Hubert Stanley Wall (in) , Analytic Theory of Continued Fractions , AMS ,2000( 1 st ed. 1948), 433 p. ( ISBN 978-0-8218-2106-0 ) , pág. 27-28 y 424, sobre el vínculo con la obra de Helge von Koch , “ Sobre un teorema de Stieltjes y sobre fracciones continuas ”, Bull. SMF , vol. 23,1895, p. 33-40.
-
(en) Lisa Lorentzen y Haakon Waadeland , Fracciones continuas: teoría de la convergencia , Atlantic Press,2008( leer en línea ) , pág. 94.
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Pringsheim , 1921 , p. 846.
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Wall 2000 , p. 29.
-
Perron 1913 , cap. VII, § 50, “ Konvergenz bei positiven Elementen ”.
-
Lorentzen y Waadeland 2008 , p. 98.
-
Pringsheim , 1921 , p. 764 y 962.
-
En Jones y Thron 1980 , p. 87, el teorema de Seidel-Stern se presenta en una forma algo reforzada, incluyendo declaraciones sobre cómo converge la secuencia de reducciones.
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Perron 1913 , cap. VII, § 48, “ Bedingte und unbedingte Konvergenz ”.
-
(de) A. Pringsheim , “ Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche ” , S'ber. matemáticas.-fis. München , vol. 28,1898, p. 295-324 ( leer en línea ).
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Perron 1913 , cap. VII, § 55, “ Periodische Kettenbrüche ”.
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(de) Otto Stolz , Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik , vol. 2,1886( leer en línea ) , cap. VIII, § 14 (“Periodische Kettenbrüche”) , pág. 299-304.
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(De) A. Pringsheim , “ Ueber die Convergenz periodischer Kettenbrüche ” , S'ber. matemáticas.-fis. München , vol. 30,1900, p. 463-488 ( leer en línea ).
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(de) O. Perron , “ Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche ” , S'ber. matemáticas.-fis. München , vol. 35,1905, p. 495-503 ( leer en línea ).
-
En este caso, x es igual a ( √ b 2 + 4 - b ) / 2: para b = 2, encontramos la fracción continua de √ 2 - 1 y para b = 1, la del inverso del número el oro .
-
Lorentzen y Waadeland 2008 , p. 32.
-
Más precisamente ( Perron 1913 , cap. VII, § 53, “ Die Konvergenzkriterien von Pringsheim ”): | B n | - | B n –1 | ≥ | a 1 … a n | .
-
Véase, por ejemplo, Jones y Thron 1980 , p. 92, Teorema 4.35.
-
Lorentzen y Waadeland 2008 , p. 131.
-
(de) J. Worpitzky , " Untersuchungen troquel über Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche: Erste Folge " , Friedrichs-Gymnasium und Realschule (de) Jahresbericht , Berlín,1865, p. 3-39 ( leer en línea ).
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(en) EB Van Vleck , "Temas seleccionados en la teoría de series divergentes y fracciones continuas de" en The Boston Colloquium ,1905( leer en línea ) , pág. 75-187(nota p. 147 ).
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(en) J. Findlay Paydon y HS Wall, "La fracción continua como una secuencia de transformaciones lineales", Duke Mathematical Journal , vol. 9, n ° 2, 1942, pág. 360-372 .
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Jones y Thron 1980 , p. 88, Teorema 4.29.
Bibliografía adicional
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- (en) Annie Cuyt y Luc Wuytack , Métodos no lineales en análisis numérico , Elsevier ,1987( leer en línea ) , cap. I, § 4 ("Convergencia de fracciones continuas")
- (en) David F. Dawson , " Un teorema sobre las fracciones continuas y las desigualdades fundamentales " , Proc. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol. 13,1962, p. 698-701 ( leer en línea )
- (en) Amparo Gil , Javier Segura y Nico M. Temme , Métodos numéricos para funciones especiales , SIAM ,2007( leer en línea ) , "§ 6.5: Convergencia de fracciones continuas"
- (en) WT Scott y HS Wall , “ Un teorema de convergencia para fracciones continuas ” , Trans. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol. 47,1940, p. 155-172 ( leer en línea )
- (en) Haakon Waadeland , “Algunos resultados recientes en la teoría analítica de fracciones continuas” , en Métodos numéricos no lineales y aproximación racional ,1988( leer en línea ) , pág. 299-333
- (en) Haakon Waadeland , “Some Probabilistic Remarks on the Boundary Version of Worpitzky's Theorem” , en Funciones ortogonales, teoría de momentos y fracciones continuas , Marcel Dekker,1998( leer en línea ) , pág. 409-416
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