Matriz P0

En matemáticas , una matriz P0 es una matriz cuadrada real cuyos mayores menores son positivos . Estas matrices intervienen en el estudio de problemas de complementariedad lineal . Una noción relacionado es el de P-matrices .

Definición

Observamos a continuación la submatriz de formado de sus elementos con índices de fila en e índices de columna en $M _ {{I, J}}$ $METRO$ $I$ ${\ Displaystyle J.}$

Matriz P0 : decimos que una matriz cuadrada real es una matriz P0 si se cumple una de las siguientes propiedades equivalentes: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

todos los principales menores de positivo: para todos los no vacíos , $METRO$ $I \ subconjunto \ {1, \ ldots, n \}$ ${\ Displaystyle \ det M_ {I, I} \ geqslant 0}$
para cualquier vector distinto de cero, podemos encontrar un índice tal que y , $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $I$ ${\ Displaystyle x_ {i} \ neq 0}$ ${\ Displaystyle x_ {i} (Mx) _ {i} \ geqslant 0}$
para cualquier no vacío, los valores propios reales de son positivos, $I \ subconjunto \ {1, \ ldots, n \}$ ${\ Displaystyle M_ {I, I}}$
para cualquier matriz diagonal definida positiva , es invertible. $D$ ${\ Displaystyle M + D}$

Denotamos el conjunto de matrices P0 de cualquier orden. Llamamos P0-matricidad a la propiedad de una matriz a la que pertenece . ${\ mathbf {P_ {0}}}$ ${\ mathbf {P_ {0}}}$

El nombre de estas matrices fue propuesto por Fiedler y Pták (1966), quienes también mostraron la equivalencia entre las definiciones 1 y 2. La expresión 4 de la matriz P0 se debe a Chen y Harker (1993).

Propiedades inmediatas

De la definición 1, deducimos que

${\ Displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}}$ si y solo si , ${\ Displaystyle M ^ {\ top \!} \ in \ mathbf {P_ {0}}}$
si es simétrico, entonces si y solo si es positivo semi-definido , $METRO$ ${\ Displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}}$ $METRO$
${\ Displaystyle \ mathbf {P_ {0}} \ cap \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ es un cerrado de , ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$
si es positivo semi-definido , entonces ${\ Displaystyle M + M ^ {\! \ top \!}}$ ${\ Displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}.}$

Complejidad

Verificar que una matriz dada en es una matriz P0 es un problema de co-NP-completo . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n \ times n}}$

Apéndices

Nota

(en) Sr. Fiedler, Pták V. (1966). Algunas generalizaciones de definición positiva y monotonicidad. Numerische Mathematik , 9, 163-172. doi
(en) B. Chen, PT Harker (1993). Un método de continuación no interior para problemas de complementariedad lineal. Revista SIAM sobre análisis y aplicaciones matriciales , 14, 1168-1190. doi
(en) P. Tseng (2000). Co-NP-completitud de algunos problemas de clasificación de matrices. Programación matemática , 88, 183-192.

Obras generales

(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). El problema de la complementariedad lineal . Clásicos en Matemáticas Aplicadas 60. SIAM, Filadelfia, PA, EE. UU.
(en) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Temas de análisis matricial . Cambridge University Press, Nueva York, NY, EE. UU.