Número armónico
En matemáticas , el n- ésimo número armónico es la suma de los inversos de los n primeros enteros naturales distintos de cero:
Hno=1+12+13+⋯+1no=∑k=1no1k{\ Displaystyle H_ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} = \ sum _ { k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}}![{\ Displaystyle H_ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} = \ sum _ { k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481ff7ed761fe9ccd8dc88c9c1f7ae81322409bf)
.
Este número racional es también igual a n veces el inverso de la media armónica de estos números enteros, así como a la n- suma parcial ésima de la serie armónica .
Los números armónicos se estudiaron durante la antigüedad y son importantes en varias áreas de la teoría de números . Aparecen en muchos problemas de análisis combinatorio .
Tabla de números del primer armónico
Valor de n
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0
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1
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2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
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---|
Valor de H n
|
0 |
1
|
32{\ Displaystyle {\ frac {3} {2}}}
|
116{\ Displaystyle {\ frac {11} {6}}}
|
2512{\ Displaystyle {\ frac {25} {12}}}
|
13760{\ Displaystyle {\ frac {137} {60}}}
|
4920{\ displaystyle {\ frac {49} {20}}}
|
363140{\ Displaystyle {\ frac {363} {140}}}
|
761280{\ displaystyle {\ frac {761} {280}}}
|
71292520{\ displaystyle {\ frac {7129} {2520}}}
|
73812520{\ displaystyle {\ frac {7381} {2520}}}
|
---|
Valor aproximado de H n
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0
|
1
|
1,5
|
1.8
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2.1
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2.3
|
2.5
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2.6
|
2,7
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2.8
|
2.9
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Los numeradores y denominadores de estos fundamentos forman, a partir de n = 1 , las secuencias de enteros A001008 y A002805 de la OEIS .
La subsecuencia de numeradores primos es 3 , 11 , 137 , 761 , 7129 ,… ( A067657 ) y los índices correspondientes son 2, 3, 5, 8, 9,… ( A056903 ).
Comportamiento asintótico
La secuencia de números armónicos aumenta lentamente.
La serie armónica diverge ; su suma es + ∞ . Tenemos el siguiente desarrollo asintótico :
Hno=enno+γ+12no-112no2+O(1no4),{\ Displaystyle H_ {n} = \ ln n + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - {\ frac {1} {12n ^ {2}}} + O \ left ({\ frac {1 } {n ^ {4}}} \ right),}![{\ Displaystyle H_ {n} = \ ln n + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - {\ frac {1} {12n ^ {2}}} + O \ left ({\ frac {1 } {n ^ {4}}} \ right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1165ca12c9ffebd42ea9f4a6beab66d5c37ddb9a)
donde es la constante de Euler-Mascheroni ; de manera más general, la fórmula de Euler-Maclaurin da:
γ{\ Displaystyle \ gamma}![\gama](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Hno=enno+γ+12no-∑k=1pagB2k2kno2k+O(1no2pag+2),{\ Displaystyle H_ {n} = \ ln n + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {B_ {2k}} {2kn ^ {2k}}} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {2p + 2}}} \ right),}![{\ Displaystyle H_ {n} = \ ln n + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {B_ {2k}} {2kn ^ {2k}}} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {2p + 2}}} \ right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e6d10cff1b2ed2af3146bf70b5165973680786)
donde son los números de Bernoulli .
B2k{\ Displaystyle B_ {2k}}![B _ {{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01575253488226c50dd432a9a4c1992f2990159)
Propiedades
Hno=1no![no+12]{\ Displaystyle H_ {n} = {\ frac {1} {n!}} \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 2 \ end {matrix}} \ right]}![{\ Displaystyle H_ {n} = {\ frac {1} {n!}} \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 2 \ end {matrix}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cb0e24fc5f5137f0db86198acc9c38588a2a92)
, donde es un
número de
Stirling del primer tipo.
[no+12]{\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n + 1 \\ 2 \ end {matrix}} \ right]}
Hno=∑k=1no(nok)(-1)k-1k{\ Displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}}}![{\ Displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310304cc73bc26baa0c4f42c93845cab3145a846)
.
El denominador de H n (para n ≥ 1 ) es divisible por entonces (omitiendo H 0 = 0 ) el único número armónico entero es H 1 = 1 . Según el teorema de Kürschák , H 1 es incluso la única suma integral de inversos de enteros naturales consecutivos.
2⌊Iniciar sesión2no⌋{\ Displaystyle 2 ^ {\ lfloor \ log _ {2} n \ rfloor}}![{\ Displaystyle 2 ^ {\ lfloor \ log _ {2} n \ rfloor}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4634027c8a403cf8a5c1673ed8b64f84f64cddee)
El postulado de Bertrand demuestra que los únicos otros números armónicos decimales son H 2 = 1.5 y H 6 = 2.45 .
Para cualquier número primo p ≥ 5 , el numerador de H p –1 es divisible por p 2 : consulte el “ Teorema de Wolstenholme ”.
Euler dio la siguiente representación integral:
Hno=∫011-Xno1-XDX{\ Displaystyle H_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1-x ^ {n}} {1-x}} \, \ mathrm {d} x}![{\ Displaystyle H_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1-x ^ {n}} {1-x}} \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d156de6663f4776ad4dc90218390040fc04c93)
,
usando identidad
1-Xno1-X=1+X+⋯+Xno-1{\ Displaystyle {\ frac {1-x ^ {n}} {1-x}} = 1 + x + \ cdots + x ^ {n-1}}![{\ Displaystyle {\ frac {1-x ^ {n}} {1-x}} = 1 + x + \ cdots + x ^ {n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b5ce3d89d0a68de83f20c12e3805d87f141b4c)
,
que proporciona una extensión meromórfica . De hecho,
z↦Hz{\ Displaystyle z \ mapsto H_ {z}}![{\ Displaystyle z \ mapsto H_ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1528cf6610ba541b5cdb71d4bc15c615781e0e5d)
Hz=∑k≥1(1k-1k+z)=ψ(z+1)+γ{\ Displaystyle H_ {z} = \ sum _ {k \ geq 1} \ left ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {1} {k + z}} \ right) = \ psi ( z + 1) + \ gamma}![{\ Displaystyle H_ {z} = \ sum _ {k \ geq 1} \ left ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {1} {k + z}} \ right) = \ psi ( z + 1) + \ gamma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46db6865a34c6e93345e7213ff7c8d0119fcd966)
,
donde ψ es la función digamma .
Generalización
Definimos el n- ésimo número armónico generalizado H n, r exponente r como la n- ésima suma parcial de la serie del exponente de Riemann r :
Hno,r=∑k=1no1kr{\ Displaystyle H_ {n, r} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {r}}}}![{\ Displaystyle H_ {n, r} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {r}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c804960d7d31167d0c0ee91743407097b435c1b)
.
Para cualquier r > 1 real , esta secuencia converge hacia el valor en r de la función zeta de Riemann :
∀r>1limno→∞Hno,r=ζ(r){\ Displaystyle \ forall r> 1 \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} H_ {n, r} = \ zeta (r)}![{\ Displaystyle \ forall r> 1 \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} H_ {n, r} = \ zeta (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8431ce5d0e82f11bd7df1f576d6d549d4012709c)
.
Existen otras notaciones, como H( r )
n, Confuso con números hiperarmónicos ( pulg ) .
Los numeradores de números armónicos generalizados con exponente 2 se denominan números de Wolstenholme .
Ejemplos de uso
Los números armónicos aparecen naturalmente en el problema del colector de viñetas en la teoría de la probabilidad .
Notas y referencias
-
(en) Ronald L. Graham , Donald E. Knuth y Oren Patashnik , Matemáticas concretas ,1994, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1989) ( leer en línea ) , p. 273.
-
Suma vacía .
-
Ver, por ejemplo, este ejercicio corregido sobre Wikiversity .
-
Graham, Knuth y Patashnik 1994 , p. 275 y ex. 21 p. 311.
-
(en) Julian Havil (de) , Gamma: Explorando la constante de Euler , Princeton University Press ,2009( 1 st ed. 2003), 304 p. ( ISBN 978-0-691-14133-6 , leer en línea ) , pág. 24-25.
-
(en) C. Edward Sandifer , Cómo lo hizo Euler , MAA ,2007, 237 p. ( ISBN 978-0-88385-563-8 , leer en línea ) , pág. 206.
-
(en) Eric W. Weisstein , " Número armónico " en MathWorld .
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