Teorema de wolstenholme

El teorema de Wolstenholme , demostrado en 1862 por Joseph Wolstenholme , establece que para cualquier número primo p mayor o igual a 5,

{\ displaystyle {{2p-1} \ choose {p-1}} \ equiv 1 {\ pmod {p ^ {3}}}.}

Por ejemplo, para p = 7: el coeficiente binomial es igual a 1716 = 1 + 7 3 × 5. ${\ Displaystyle \ scriptstyle {13 \ Choose 6}}$

El módulo de congruencia análogo p 2 había sido demostrado en 1819 por Charles Babbage .

La demostración original de Wolstenholme usa solo cálculos algebraicos elementales. Primero muestra que el numerador del ( p - 1) -ésimo número armónico

{\ Displaystyle H_ {p-1} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ ldots + {\ frac {1} {p-1}}}

es un múltiplo de p 2 , deduce que el ( p - 1) -ésimo número de Wolstenholme (el numerador del número armónico generalizado de orden 2

{\ Displaystyle H_ {p-1,2} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ ldots + {\ frac {1} {(p-1) ^ {2}}}}

)

es un múltiplo de p , luego deduce su teorema de estos dos resultados, que a veces también se denominan “teorema de Wolstenholme”.

Referencias

(en) J. Wolstenholme, " Sobre ciertas propiedades de los números primos " , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 5,1862, p. 35-39 ( leer en línea )
(en) C. Babbage, " Demostración de un teorema relativo a los números primos " , The Edinburgh Philosophical Journal , vol. 1,1819, p. 46-49 ( leer en línea )

Ver también

Artículo relacionado

Teorema de lucas

Bibliografía

(en) Richard J. McIntosh, “ Sobre el inverso del teorema de Wolstenholme ” , Acta Arith. , vol. 71, n o 4,1995, p. 381-389 ( leer en línea )
(es) JWL Glaisher , “ Congruencias relativas a las sumas de productos de los primeros $n$ números y a otras sumas de productos ” , Quart. J. Pure Appl. Matemáticas. (en) , vol. 31,1900, p. 1-35 ( leer en línea )
(es) JWL Glaisher, “ Sobre los residuos de las sumas de productos de los primeros números $p - 1$ , y sus potencias, hasta módulo $p 2$ o $p 3$ ” , Quart. J. Pure Appl. Matemáticas. , vol. 31,1900, p. 321-353 ( leer en línea )