Doble número de Mersenne

En matemáticas , un número doble de Mersenne es un número de Mersenne de la forma

{\ Displaystyle M_ {M_ {n}} = 2 ^ {2 ^ {n} -1} -1}

donde $n$ es un entero estrictamente positivo y $M n$ denota el $n-$ ésimo número de Mersenne.

Primeros valores

Por tanto, los números dobles de Mersenne más pequeños son:

M M 1 = M 1 = 1

;

M M 2 = M 3 = 7

;

M M 3 = M 7 = 127

;

M M 4 = M 15 = 32 767 = 7 \times 31 \times 151

;

M M 5 = M 31 = 2,147,483,647

;

M M 6 = M 63 = 9 223 372 036 854 775 807 = 7 2 \times 73 \times 127 \times 337 \times 92737 \times 649 657

;

M M 7 = M 127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

Número doble de Mersenne prima

Dado que un número de Mersenne $M n$ puede ser primo solo si $n$ es primo ( condición necesaria pero no suficiente), un número de Mersenne doble $M M p$ puede ser primo solo si $M p$ es un número de Mersenne primo (que requiere sobre todo que $p$ sea : hemos visto por ejemplo que $M M 4$ y $M M 6$ no son primos).

Los únicos números dobles primos de Mersenne conocidos son $M M 2$ , $M M 3$ , $M M 5$ y $M M 7$ .

Después de 2, 3, 5 y 7, los primeros valores de $p$ para los cuales $M p$ es primo son $p$ = 13, 17, 19, 31. Para estos cuatro valores, $M M p$ no es primo (se han encontrado factores explícitos ). El próximo candidato, $M M 61$ , es demasiado alto para las pruebas actuales.

Número de catalán-Mersenne

Los Catalán - Mersenne números c n , definidos por inducción por c 0 = 2 y c n 1 = M c n , son Mersenne para n ≥ 1 y doble Mersenne para n ≥ 2. El primero cinco ( c 0 a c 4 ) son los números primos

2 , M 2 = 3 , M M 2 = M 3 = 7, M M 3 = M 7 = 127 y M M 7 = M 127 (continuación A007013 de la OEIS ).

El siguiente, c 5 = M M 127 , es incluso más enorme que el M M 61 del § anterior.

Si tenemos que definir un c 0 , es porque en la época de Mersenne, todavía considerábamos 1 como número primo .

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Número doble de Mersenne " ( ver la lista de autores ) .
(en) Eric W. Weisstein , " Double Mersenne Number " , en MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , “ Catalan-MersenneNumber ” , en MathWorld
(en) Chris Caldwell, " Mersenne Primes, § 5: Conjeturas y problemas no resueltos " , en Prime Pages