Morfismo de grupo

Un morfismo de grupos o homomorfismo de grupos se aplica entre dos grupos que respeta la estructura de grupo.

Más precisamente, es un morfismo de magmas de un grupo a un grupo , es decir, una aplicación tal que (GRAMO,∗){\ Displaystyle (G, *)}(GRAMO′,⋆){\ displaystyle (G ', \ estrella)}F:GRAMO→GRAMO′{\ Displaystyle f: G \ to G '}

∀X,y∈GRAMOF(X∗y)=F(X)⋆F(y){\ Displaystyle \ forall x, y \ in G \ quad f (x * y) = f (x) \ star f (y)},

y luego deducimos que

• f ( e ) = e ' (donde e y e' denotan losrespectivos neutrales de G y G ' ) y
• ∀ x ∈ Sol f ( x −1 ) = [ f ( x )] −1 .

Demostración

• mi∗mi=mi{\ Displaystyle e * e = e}por lo tanto  ; componiendo por el inverso de , obtenemos (en otras palabras, un morfismo grupal mantiene la idempotencia , y el elemento neutral de un grupo es su único elemento idempotente).F(mi)⋆F(mi)=F(mi){\ Displaystyle f (e) \ estrella f (e) = f (e)}F(mi){\ Displaystyle f (e)}F(mi)=mi′{\ Displaystyle f (e) = e '}
• X∗X-1=X-1∗X=mi{\ Displaystyle x * x ^ {- 1} = x ^ {- 1} * x = e}por lo tanto  ; así y son inversos entre sí.F(X)⋆F(X-1)=F(X-1)⋆F(X)=mi′{\ Displaystyle f (x) \ estrella f (x ^ {- 1}) = f (x ^ {- 1}) \ estrella f (x) = e '}F(X){\ Displaystyle f (x)}F(X-1){\ Displaystyle f (x ^ {- 1})}

Estas demostraciones se aplican en un contexto más general: ver § “  Morfismo de monoides  ” y “  Simétrico de un elemento  ” del artículo sobre monoides.

Un morfismo de un grupo G dentro de sí mismo se denomina endomorfismo de G.

Decimos que es un isomorfismo de grupos si es un morfismo biyectivo . En este caso, también es un isomorfismo de grupos. Si además , es decir, si el isomorfismo es un endomorfismo, decimos que es un automorfismo del grupo . F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}F-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}(GRAMO,∗)=(GRAMO′,⋆){\ displaystyle (G, *) = (G ', \ star)}F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}GRAMO{\ Displaystyle G}

Un morfismo de grupo lleva la ley de grupo y, por lo tanto, conservará todas las propiedades vinculadas a esta ley. Por tanto, es interesante estudiar cómo se comportan los principales objetos de la teoría de grupos bajo el efecto de morfismos.

Ejemplos de

• El morfismo cero de G a G ' es el mapa constante x ↦ e' .
• La función exponencial compleja verifica:VS→VS∗,z↦miz{\ Displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} ^ {*}, \, z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}miz+z′=miz×miz′.{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {z + z '} = \ mathrm {e} ^ {z} \ times \ mathrm {e} ^ {z'}.}Por tanto, es un morfismo de grupos de (ℂ, +) en (ℂ *, ×) y - por restricción - de (ℝ, +) en (ℝ + *, ×).

Vínculos con subgrupos

Sea un morfismo de grupos. Entonces : F:GRAMO→GRAMO′{\ Displaystyle f: G \ to G '}

• la imagen inversa de cualquier subgrupo de es un subgrupo de , y si más es normal en, entonces es normal en .F-1(H′){\ Displaystyle f ^ {- 1} (H ')} H′{\ Displaystyle H '}GRAMO′{\ Displaystyle G '}GRAMO{\ Displaystyle G}H′{\ Displaystyle H '}GRAMO′{\ Displaystyle G '}F-1(H′){\ Displaystyle f ^ {- 1} (H ')}GRAMO{\ Displaystyle G}
• la imagen directa de cualquier subgrupo de es un subgrupo de , y si más es normal en entonces es normal en (por lo tanto, si es sobreyectiva).F(H){\ Displaystyle f (H)}H{\ Displaystyle H}GRAMO{\ Displaystyle G}GRAMO′{\ Displaystyle G '}H{\ Displaystyle H}GRAMO{\ Displaystyle G}F(H){\ Displaystyle f (H)}F(GRAMO){\ Displaystyle f (G)}GRAMO′{\ Displaystyle G '}F{\ Displaystyle f}

Núcleo e imagen

Como para cualquier aplicación, la imagen de un morfismo grupal se define por: F:GRAMO→GRAMO′{\ Displaystyle f: G \ to G '}

soy⁡(F)=F(GRAMO),{\ Displaystyle \ operatorname {im} (f) = f (G),}

y es sobreyectiva si y solo si su imagen es igual a . F{\ Displaystyle f}GRAMO′{\ Displaystyle G '}

El kernel ( Kern en alemán, kernel en inglés) es más específico para morfismos. Llamamos al núcleo del morfismo el conjunto F{\ Displaystyle f}

ker⁡(F)=F-1({mi′}),{\ Displaystyle \ ker (f) = f ^ {- 1} (\ {e '\}),}

y es inyectivo si y solo si su kernel se reduce a . F{\ Displaystyle f}{mi}{\ Displaystyle \ {e \}}

Según el § anterior, para cualquier morfismo , es un subgrupo de y es un subgrupo normal de . Además, si S es una parte generadora de G , entonces f ( S ) es una parte generadora de im ( f ). F:GRAMO→GRAMO′{\ Displaystyle f: G \ to G '}soy⁡(F){\ Displaystyle \ operatorname {im} (f)}GRAMO′{\ Displaystyle G '}ker⁡(F){\ Displaystyle \ ker (f)}GRAMO{\ Displaystyle G}

Isomorfismos de grupos

Un grupo de isomorfismo es un grupo de morfismo es biyectivo .

Cuando hay un isomorfismo del grupo al grupo , su biyección recíproca es un isomorfismo del grupo al grupo  ; luego decimos que los dos grupos son isomorfos , lo cual notamos . GRAMO{\ Displaystyle G}GRAMO′{\ Displaystyle G '}GRAMO′{\ Displaystyle G '}GRAMO{\ Displaystyle G}GRAMO≃GRAMO′{\ Displaystyle G \ simeq G '}

Automorfismos grupales

Un automorfismo de grupo es un morfismo que es tanto un isomorfismo de grupos como un endomorfismo de grupo.

El conjunto de automorfismos del grupo G generalmente se denota Aut ( G ). Es un subgrupo del grupo de biyecciones de G a G (provisto de la ley de composición ).

Teoremas de isomorfismo

Los siguientes tres teoremas de isomorfismo se pueden generalizar a estructuras distintas de los grupos. Véase en particular Álgebra universal # Paso al teoremas del cociente y de la isomorfia .

Primer teorema del isomorfismo

F{\ Displaystyle f}induce un isomorfismo del grupo cociente a .GRAMO/ker⁡F{\ Displaystyle G / \ ker f \,}F(GRAMO){\ Displaystyle f (G) \,}

De este teorema fundamental deducimos otros dos teoremas de isomorfismo.

Segundo teorema del isomorfismo

Si N es un subgrupo normal de G y H es un subgrupo de G, entonces es un subgrupo normal de H y tenemos el siguiente isomorfismo: H∩NO{\ Displaystyle H \ cap N}

H/(H∩NO)≃NOH/NO.{\ Displaystyle H / (H \ cap N) \ simeq NH / N.}

Tercer teorema del isomorfismo

¿Son N y M dos subgrupos de G normal tales que M está incluido en N ? Entonces N / M es un subgrupo normal de G / M y tenemos el siguiente isomorfismo:

(GRAMO/METRO)/(NO/METRO)≃GRAMO/NO.{\ Displaystyle (G / M) / (N / M) \ simeq G / N.}

Nota

1. Para una demostración, ver por ejemplo el § “Homomorfismos” del curso sobre grupos en Wikiversidad . Y para los complementos en subgrupos normales, ver Subgrupo normal # Enlace con morfismos de grupo .

Ver también

Artículos relacionados

• Automorfismo interior
• Categoría de grupos
• Cifrado homomórfico

Bibliografía

• Josette Calais, Elementos de la teoría de grupos , París, PUF , 1984.
• Bernard Charles y Denis Allouch, Álgebra general , París, PUF, 1984.

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