Morfismo cero

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un morfismo cero es un tipo especial de morfismo que exhibe ciertas propiedades como las de los morfismos hacia y desde un objeto cero .

Definiciones

Supongamos que C es una categoría, y f : X → Y sea un morfismo de la categoría C . El morfismo f se llama morfismo constante (o incluso morfismo izquierdo cero ) si para cualquier objeto W de categoría C y cualquier morfismo de esta categoría g , h : W → X , tenemos fg = fh . Al mismo tiempo, f se llama morfismo coconstante (o incluso morfismo cero a la derecha ) si para cualquier objeto Z de categoría C y cualquier morfismo de esta categoría g , h : Y → Z , tenemos gf = hf . Un morfismo cero es un morfismo constante y coconstante.

Una categoría con cero morfismos es aquella en la que, para todos los pares de objetos A y B de la categoría C , hay un morfismo fijo de esta categoría 0 AB : A → B , siendo esta colección de cero morfismos tal que para todos los objetos X , Y , Z de la categoría C y todos los morfismos de esta categoría f : Y → Z , g : X → Y , el siguiente diagrama conmuta:

Los morfismos 0 XY son necesariamente cero morfismos y forman un sistema compatible de cero morfismos.

Si C es una categoría con cero morfismos, entonces la colección de cero morfismos 0 XY es única.

Esta forma de definir por separado "morfismo cero" y la frase "categoría de morfismo cero" es desafortunada, pero si cada subcategoría tiene "morfismo cero", entonces la categoría es "morfismo cero".

Ejemplos de

En la categoría de los grupos (o módulos ), un morfismo cero es un homomorfismo f : G → H que asigna todo G al elemento de identidad de H . El objeto cero en la categoría de grupos es el grupo trivial 1 = {1} , que es único excepto por un isomorfismo . Cualquier morfismo cero se puede factorizar por 1 , es decir, f : G → 1 → H.
De manera más general, suponga que C es una categoría con un objeto cero 0 para todos los objetos X e Y , hay una secuencia única de morfismos cero $\ Flecha correcta$

0 XY : X → 0 → Y La familia de todos los morfismos así construida confiere a C la estructura de una categoría con cero morfismos.

Si C es una categoría pre-aditiva, entonces cualquier conjunto de morfismos Mor ( X , Y ) es un grupo abeliano y por lo tanto tiene un elemento cero. Estos elementos cero forman una familia compatible de morfismos cero para C, lo que la convierte en una categoría con morfismos cero.
La categoría de conjuntos no tiene un objeto nulo, pero sí tiene un objeto inicial , el conjunto vacío ∅. Los únicos cero morfismos correctas en esta categoría son las funciones ∅ → X para todos X .

Conceptos relacionados

Si C tiene un objeto de cero 0 , dado dos objetos X y Y en la categoría C , hay morfismos canónicos f : X → 0 y g : 0 → Y . Entonces, gf es un morfismo cero en Mor C ( X , Y ). Así, cualquier categoría con un objeto cero es una categoría con un morfismo cero dado por la composición 0 XY : X → 0 → Y.

Si una categoría tiene cero morfismos, entonces podemos definir las nociones de kernel y cokernel para cualquier morfismo en esta categoría.

Referencias

Calificador utilizado en Inglés.
" Categoría con cero morfismos - Intercambio de pila de matemáticas " , Math.stackexchange.com ,17 de enero de 2015(consultado el 30 de marzo de 2016 )

Sección 1.7 de 978-0-12-545150-5
Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Teoría de categorías, Heldermann Verlag.

Observaciones