Modelado pi de líneas eléctricas

El modelado Pi de líneas eléctricas permite representar el comportamiento eléctrico esperado de estas . Se basa en las ecuaciones de los operadores de telégrafos . El cálculo de los parámetros eléctricos utilizados para el modelado se basa en las ecuaciones de Maxwell . El modelo con una sola sección Pi solo es válido para bajas frecuencias y líneas eléctricas cortas, de lo contrario, varias secciones Pi deben conectarse en serie.

Ecuaciones de los operadores de telégrafos

Una parte de una línea eléctrica se puede representar mediante el cuadrupolo opuesto a donde

La resistencia lineal (por unidad de longitud) del conductor está representada por una resistencia en serie (expresada en ohmios por unidad de longitud). $R$
La inductancia lineal está representada por un inductor ( Henry por unidad de longitud). $L$
La capacitancia lineal entre los 2 conductores está representada por un condensador C en derivación ( Farad por unidad de longitud). $VS$
La conductancia lineal del medio dieléctrico que separa los 2 conductores está representada por una resistencia en derivación ( Siemens por unidad de longitud). La resistencia en este modelo tiene un valor de ohmios. $GRAMO$ ${\ Displaystyle 1 / G}$

En este modelo, definimos el voltaje en cualquier punto a una distancia x del inicio de la línea y en cualquier momento t el voltaje y la corriente . Las ecuaciones están escritas: ${\ Displaystyle U (x, t)}$ ${\ Displaystyle I (x, t)}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ U parcial} {\ parcial x}} (x, t) = - L {\ frac {\ parcial I} {\ parcial t}} (x, t) -RI (x, t )}

{\ Displaystyle {\ frac {\ I parcial} {\ X parcial}} (x, t) = - C {\ frac {\ U parcial} {\ Parcial t}} (x, t) -GU (x, t )}

A partir de la formulación anterior, podemos dibujar 2 ecuaciones diferenciales parciales, cada una con una sola variable:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial t ^ { 2}}} (x, t) + (RC + GL) {\ frac {\ parcial U} {\ parcial t}} (x, t) + GRU (x, t)}

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} I} {\ parcial x ^ {2}}} (x, t) = LC {\ frac {\ parcial ^ {2} I} {\ parcial t ^ { 2}}} (x, t) + (RC + GL) {\ frac {\ I parcial} {\ t parcial}} (x, t) + GRI (x, t)}

Modelo pi

Impedancia y admitancia

Considerando las pérdidas, la impedancia Zl y la admitancia Yq se calculan de la siguiente manera:

{\ Displaystyle Z_ {l} = \ Gamma \ cdot \ sinh (\ gamma \ cdot l)}

{\ Displaystyle {\ frac {Y_ {q}} {2}} = {\ frac {1} {\ Gamma}} \ tanh \ left (\ gamma \ cdot {\ frac {l} {2}} \ right) }

Con la constante de propagación, con Z 'la impedancia lineal de la línea e Y' la admitancia lineal de la línea. Y la impedancia de la línea. l es la longitud de la línea. ${\ Displaystyle \ gamma = \ alpha + j \ mathrm {B} = {\ sqrt {Z '\ cdot Y'}}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma = {\ sqrt {\ frac {Z '} {Y'}}}}$

Para una línea sin pérdidas:

{\ Displaystyle Z_ {l} = \ Gamma \ cdot j \ cdot \ sin (\ mathrm {B} \ cdot l)}

{\ Displaystyle {\ frac {Y_ {q}} {2}} = {\ frac {1} {\ Gamma}} j \ cdot \ tan \ left (\ mathrm {B} \ cdot {\ frac {l} { 2}} \ derecha)}

Para una línea aérea corta, de menos de 80 km , podemos despreciar las capacitancias y simplificar la impedancia:

{\ Displaystyle Z_ {l} = Z '\ cdot l}

{\ Displaystyle {\ frac {Y_ {q}} {2}} = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {Y_ {q}} {2}} = {\ frac {Y '\ cdot l} {2}}}

Número de Pi a usar

Una sección en Pi consta solo de elementos concentrados. Con solo una sección, el modelo Pi solo es válido a baja frecuencia para longitudes de línea cortas. Cuando aumenta la longitud o la frecuencia, se debe aumentar el número de secciones en Pi a conectar en serie para tener un modelado correcto.

Una línea puede considerarse "corta", es decir modelable con un solo tramo en Pi, hasta 200 km para una línea aérea a 50 Hz y 100 km para un cable. El número de secciones en Pi debe aumentar proporcionalmente con la frecuencia e inversamente proporcional a la longitud de la línea.

Cálculo de parámetros eléctricos para una línea aérea.

Conductor equivalente

Las líneas eléctricas , especialmente las de más de 220 kV , no poseen un solo conductor por fase, sino que contienen en haces de conductores 2-4 (ver imagen al lado). Es posible modelar un haz de conductores mediante un conductor equivalente de radio:

{\ Displaystyle r _ {\ text {equivalente}} = {\ sqrt [{n}] {n \ cdot r_ {C} \ cdot r_ {T} ^ {n-1}}}}

Donde r equivalente es el radio equivalente del haz, r C el radio de los conductores, r T el radio del círculo formado por el haz, n el número de conductores por haz (ver imagen).

Distancia equivalente entre haces / conductores

Para un sistema trifásico, es posible definir una distancia equivalente entre los conductores, o haces de conductores según sea el caso, calculando la media geométrica . En el caso de un sistema trifásico simple, vale la pena:

{\ Displaystyle D = {\ sqrt [{3}] {D_ {12} \ cdot D_ {23} \ cdot D_ {31}}}}

Para el caso de un sistema doble (dos líneas trifásicas a cada lado del pilón):

{\ Displaystyle D = {\ sqrt [{3}] {D_ {12} \ cdot D_ {23} \ cdot D_ {31} \ cdot {\ frac {D_ {12 '} \ cdot D_ {23'} \ cdot D_ {31 '}} {D_ {11'} \ cdot D_ {22 '} \ cdot D_ {33'}}}}}}

Resistencia de línea

La resistencia lineal de un conductor a 20 ° C es:

{\ Displaystyle R_ {20} = {\ frac {\ rho} {S}}}

Con la sección y la resistividad del material conductor. Para un conductor de cobre, la resistividad es del orden de 1.8 x 10 -8 Ω ∙ m para aluminio de 3 x 10 -8 Ω ∙ m. $S$ $\ rho$

La resistencia de la línea también depende de la temperatura:

{\ Displaystyle R = R_ {20} \ cdot (1+ \ alpha \ Delta T)}

Cuál es el coeficiente de temperatura y la diferencia en grados Kelvin entre la temperatura y 20 ° C . $\alfa$ ${\ Displaystyle \ Delta T}$

En el caso de un haz de conductores, este último en paralelo, la resistencia debe dividirse por el número de conductores.

Inductancia

La inductancia lineal de una línea es igual a:

{\ Displaystyle L _ {\ text {line}} '= {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} \ left (\ ln \ left ({\ frac {D} {r}} \ derecha) + {\ frac {\ mu _ {r}} {4n}} \ right)}

Con n el número de conductores por haz y la permitividad del conductor. En el caso de que sea igual a 1, podemos definir un radio equivalente : $\Pared}$ $\Pared}$ ${\ Displaystyle r_ {GMR} = r \ cdot e ^ {- 1 / 4n}}$

{\ Displaystyle L _ {\ text {line}} '= {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} \ ln \ left ({\ frac {D} {r_ {GMR}}} \ derecha)}

Demostración Dos conductores

Considere un sistema que consta de una línea de avance y una línea de retorno de una longitud l, consideradas como muy grandes en comparación con las otras distancias, y espaciadas por una distancia d. Al tomar un contorno circular alrededor de un conductor de longitud y aplicarle el teorema de Ampère, tenemos: ${\ Displaystyle 2 \ pi x}$

{\ Displaystyle \ unint Hdl = I _ {\ text {traversant}}}

{\ Displaystyle H2 \ pi x = I _ {\ text {traversant}}}

Para (radio del conductor) obtenemos: Para obtenemos: ${\ Displaystyle x <r}$ ${\ Displaystyle H = {\ frac {I \ cdot x ^ {2}} {2 \ pi xr ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle x \ geqslant r}$ ${\ Displaystyle H = {\ frac {I} {2 \ pi x}}}$

La energía contenida en el conductor W es igual a:

{\ Displaystyle W_ {i} = {\ frac {1} {2}} \ iiint {B \ wedge H \ cdot dV}}

{\ Displaystyle W_ {i} = {\ frac {1} {2}} \ iiint \ mu _ {i} H ^ {2} dV}

¿Dónde está la permeabilidad magnética del conductor? $\ mu _ {i}$

{\ Displaystyle W_ {i} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {r} \ mu _ {i} \ left ({\ frac {I_ {1} x} {2 \ pi r ^ {2}}} \ right) ^ {2} l2 \ pi xdx}

[...]

{\ Displaystyle W_ {i} = I_ {1} ^ {2} {\ frac {\ mu _ {i} l} {16 \ pi}}}

Oro

{\ Displaystyle W_ {i} = {\ frac {1} {2}} L_ {i} I ^ {2}}

con L i la inductancia interna del conductor.

Entonces

{\ Displaystyle L_ {i} = {\ frac {\ mu _ {i} l} {8 \ pi}}}

En línea

{\ Displaystyle L_ {i} '= {\ frac {\ mu _ {i}} {8 \ pi}}}

Ahora que se conoce la inductancia interna, queda por determinar la inductancia externa. Tenemos en cuenta el campo creado por un solo conductor entre él y el otro conductor (donde se cancela el campo):

{\ Displaystyle \ Phi = \ iint B \ cdot dS = \ iint \ mu _ {a} H \ cdot dS = \ int _ {r} ^ {d} \ mu _ {a} {\ frac {I} {2 \ pi x}} ldx}

{\ Displaystyle \ Phi = \ mu _ {a} {\ frac {I} {2 \ pi}} l \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ right)}

Oro

{\ Displaystyle L_ {a} = {\ frac {\ Phi} {I}} = \ mu _ {a} {\ frac {1} {2 \ pi}} l \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ derecha)}

Con el flujo magnético . En línea: $\ Phi$

{\ Displaystyle L_ {a} '= \ mu _ {a} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ right)}

Siendo la inductancia externa total la causada por el conductor de salida y el conductor de retorno, y sumando también la inductancia interna, tenemos:

{\ Displaystyle L _ {\ text {total}} '= 2L_ {a}' + 2L_ {i}}

Considerando la misma permeabilidad magnética , la ecuación se convierte en: $\Pared}$

{\ Displaystyle L _ {\ text {total}} '= {\ frac {\ mu _ {0}} {\ pi}} \ left ({\ frac {\ mu _ {r}} {4}} + \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ right) \ right)}

Sistema trifásico

Para un sistema trifásico, consideramos un conductor de retorno ficticio ubicado entre las 3 fases. Las ecuaciones anteriores siguen siendo aplicables, también es necesario calcular las inductancias mutuas entre fases. Atención, los conductores son simples aquí, para obtener detalles con los mazos de conductores, consulte la nota.

{\ Displaystyle M_ {31} = {\ frac {\ Phi _ {1}} {I_ {3}}} = {\ frac {1} {I_ {3}}} \ iint B_ {1} dS}

Con B 1 el campo aplicado al conductor 1 por la corriente que fluye a través del conductor 3.

{\ Displaystyle M_ {31} = {\ frac {\ mu _ {0} l} {2 \ pi I_ {3}}} \ left [I_ {3} \ left ({\ frac {\ mu _ {r} } {4}} + \ int _ {r} ^ {d} {\ frac {1} {x}} dx \ right) -I_ {3} \ int _ {d} ^ {D} {\ frac {1 } {x}} dx \ right]}

Desde d, el conductor de retorno influye en el campo. Por tanto obtenemos:

{\ Displaystyle M_ {31} = {\ frac {\ mu _ {0} l} {2 \ pi}} \ left ({\ frac {\ mu _ {r}} {4}} + \ ln \ left ( {\ frac {d} {r}} \ derecha) + \ ln \ izquierda ({\ frac {D} {d}} \ derecha) \ derecha)}

{\ Displaystyle M_ {31} = {\ frac {\ mu _ {0} l} {2 \ pi}} \ left ({\ frac {\ mu _ {r}} {4}} + \ ln \ left ( {\ frac {d ^ {2}} {r \ cdot D}} \ right) \ right)}

El sistema es simétrico M 12 = M 23 = M 31 = M.

La inductancia de una línea, L línea está, por tanto, gobernado por la ecuación siguiente:

{\ Displaystyle L _ {\ text {línea}} I_ {1} = L _ {\ text {total}} I_ {1} + MI_ {2} + MI_ {3}}

El sistema es trifásico . De donde : ${\ Displaystyle I_ {1} + I_ {2} + I_ {3} = 0}$

{\ Displaystyle L _ {\ text {línea}} I_ {1} = L _ {\ text {total}} I_ {1} -MI_ {1}}

Simplificando (en lineal):

{\ displaystyle L _ {\ text {line}} '= L _ {\ text {total}}' - M = {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} \ left [2 \ left ({\ frac {\ mu _ {r}} {4}} + \ ln \ left ({\ frac {d} {r}} \ right) \ right) - \ left ({\ frac {\ mu _ { r}} {4}} + \ ln \ left ({\ frac {d ^ {2}} {r \ cdot D}} \ right) \ right) \ right]}

{\ displaystyle L _ {\ text {line}} '= {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} \ left (\ ln \ left ({\ frac {D} {r}} \ derecha) + {\ frac {\ mu _ {r}} {4}} \ derecha)}

El profesor Thierry Van Cutsem ofrece una demostración ligeramente diferente, ver nota.

Valores típicos de impedancia

A continuación se muestran algunos valores típicos para una red de 50 Hz con conductores de aluminio / acero de sección de aluminio de 240 mm 2 y acero de 40 mm 2 .

Voltaje de línea (kV)	Número de conductores por paquete	Impedancia (Ω / km)
110	1	0,12 + d0,4
220	2	0,06 + j0,3
380	4	0.03 + d0.25

Otros valores solo para resistencia:

Voltaje de línea (kV)	Número de conductores por paquete	Resistencia (Ω / km)
70	1	0.09-0.35
110	1	0,12
220	2	0.04-0.09
380	4	0,03

Y la inductancia:

Voltaje de línea (kV)	Número de conductores por paquete	Inductancia (Ω / km)
70	1	0,2 - 0,4
110	1	0.4
220	2	0,3
380	4	0,25

Capacidad

En un sistema trifásico, existen capacidades entre líneas y tierra, pero también entre líneas. El objetivo es sintetizar todo en una única capacidad "media" C b igual para las tres líneas:

{\ displaystyle C_ {b} '= {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln \ left ({\ dfrac {D} {r}} \ right)}} }

En el que y son la permitividad dieléctrica del vacío y del material (en el caso del aire para las líneas es aproximadamente 1). $\ epsilon _ {0}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {r}}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {r}}$

Podemos demostrar usando el teorema de Kennelly que:

{\ Displaystyle C_ {b} '= 3 \ cdot C_ {L} + C_ {T}}

Con C L la capacitancia mutua y C T la capacitancia de tierra

Demostración

Para modelar el potencial cero de la tierra, usamos el principio del espejo. Es decir, modelamos conductores ficticios colocados simétricamente a tierra con respecto a los conductores reales y cargados de forma opuesta. Entonces, la tierra tiene potencial cero.

Considere el caso que se muestra en el lado opuesto de un solo conductor. El potencial de un punto arbitrario Pi, distante de un ij del conductor real y de un ij * del conductor ficticio es según el teorema de Gauss :

{\ displaystyle V_ {P} = V_ {P, {\ text {causado por un controlador real}}} + V_ {P, {\ text {causado por un controlador ficticio}}}}

{\ Displaystyle V_ {P} = {\ frac {Q_ {j} '} {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}}} \ ln \ left ({\ frac {1} {a_ { ij}}} \ right) - {\ frac {Q_ {j} '} {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}}} \ ln \ left ({\ frac {1} {a_ { ij *}}} \ right)}

{\ Displaystyle V_ {P} = {\ frac {Q_ {j} '} {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}}} \ ln \ left ({\ frac {a_ {ij} * } {a_ {ij}}} \ right)}

El mismo principio se utiliza para un sistema trifásico. Para cada punto P tenemos la ecuación:

{\ displaystyle V_ {P} = {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}}} \ left (Q_ {1} '\ ln \ left ({\ frac {a_ {1j} *} {a_ {1j}}} \ right) + Q_ {1} '\ ln \ left ({\ frac {a_ {2j} *} {a_ {2j}}} \ right) + Q_ {1 } '\ ln \ left ({\ frac {a_ {3j} *} {a_ {3j}}} \ right) \ right)}

Colocando los puntos i P en los conductores 1, 2 y 3, los potenciales son entonces iguales a U 1 , U 2 y U 3 .

Podemos presentar el problema anterior en forma de matriz: U = M * Q. Con U el vector de las tensiones de los 3 conductores, Q las 3 cargas y M una matriz formada por i y j que van de 1 a 3. ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ ln \ left ({\ frac {a_ {1j} *} {a_ {1j}}} \ right)}$

El sistema se considera simétrico (ver conmutación de fase ):

{\ Displaystyle C_ {12} = C_ {23} = C_ {13}}

{\ Displaystyle C_ {1T} = C_ {2T} = C_ {3T}}

Se calcula una distancia equivalente igual a la media geométrica entre vigas con el método presentado anteriormente para el sistema real, indicado D, y el sistema ficticio, indicado D *. También se define una altura media geométrica:

{\ Displaystyle h = {\ sqrt [{3}] {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}}}

Además, todos los conductores tienen el mismo radio r. Por tanto, los términos diagonales son válidos y todos los demás términos . ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ ln \ left ({\ frac {a_ {1j} *} {a_ {1j}}} \ right)}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ ln \ left ({\ frac {2h} {r}} \ right) = p_ {A}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ ln \ left ({\ frac {D *} {D}} \ right) = p_ {B}}$

Resolviendo el sistema matricial, obtenemos: con i = 1..3. ${\ Displaystyle Q_ {i} = {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} \ cdot U_ {i}}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln ({\ frac { 2h} {r}}) - \ ln ({\ frac {D *} {D}})}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln ({\ frac { 2hD} {rD *}})}}}

Aproximando D * por , obtenemos: ${\ Displaystyle {\ sqrt {(2h) ^ {2} + D ^ {2}}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln \ left ({\ frac {D} {r {\ sqrt {1 + ({\ frac {D} {2h}}) ^ {2}}}}} \ right)}}}

${\ Displaystyle D << 2h}$ de donde :

{\ Displaystyle {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac {2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln ({\ frac { Dr}})}}}

Por definición :

{\ Displaystyle C_ {b} '= {\ frac {Q_ {1}'} {U_ {1}}} = {\ frac {1} {p_ {A} -p_ {B}}} = {\ frac { 2 \ pi \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r}} {\ ln ({\ frac {D} {r}})}}}

Conductancia

Una resistencia debe estar representada en paralelo a las capacidades para ser completa. Se debe al efecto corona y a las fugas de corriente (provocadas por la contaminación de los aisladores, por ejemplo). Para una línea de 380 kV vale:

Tiempo seco	Clima húmedo
3 nS / km	30 nS / km

Valores típicos de admitancia

A continuación se muestran algunos valores típicos para una red de 50 Hz .

Voltaje de línea (kV)	Número de conductores por paquete	Admisión (uS / km)
110	1	3
220	2	3.9
380	4	4.3

Cálculo de los parámetros eléctricos de un cable.

Entrada

Para los cables, los cálculos de resistencia e inductividad son idénticos. La capacidad es:

{\ Displaystyle C_ {T} = C_ {b} '= {\ frac {2 \ pi \ epsilon} {\ ln ({\ frac {r_ {2}} {r_ {1}}})}}}

Con r 1 el radio del núcleo y r 2 el radio interior de la pantalla. La capacitancia entre las líneas es insignificante.

La conductancia es igual a:

{\ Displaystyle G_ {b} '= \ tan (\ delta) \ cdot \ omega C_ {b}'}

Algunos valores típicos:

Voltaje de línea (kV)	Resistencia (Ω / km)	Reactancia (Ω / km)	Admisión ((uS / km)
36	0.06-0.16	0,10 - 0,17	40 -120
150	0.03-0.12	0,12 - 0,22	30 - 70

Tipo de aislamiento de cable	$bronceado (\ delta)$	${\ Displaystyle \ epsilon _ {r}}$
Papel impregnado	2-3 10 −3	3.3-3.5
CLORURO DE POLIVINILO		3,5 - 8,0
Etileno propileno		2,8 - 3,5
Polietileno	0,2 - 0,5 10 −3	2.2-2.3
Polietileno reticulado		2,3 - 6

La norma IEC 60287-1-1 proporciona muchas fórmulas para calcular los parámetros eléctricos de los cables.

Transposición de línea

La capacitancia de línea a tierra depende de la altura a la que se encuentra el conductor o el haz de conductores. En los ejemplos anteriores, uno de estos conductores es más alto que los otros dos. Si no se hace nada, la capacitancia de esta fase frente a tierra sería diferente a la de las otras dos fases, lo que no es deseable para un sistema trifásico simétrico.

Para solucionar el problema, las fases se alternan entre ellas a intervalos regulares por medio de un pilón de transposición. Para líneas de menos de 200 km de longitud , son suficientes dos transposiciones, que permiten que cada línea tenga el mismo comportamiento capacitivo en promedio. Las corrientes inducidas por las tres fases se compensan entre sí.

Ver también

ángulo de transporte

Referencias

Kindersberger , 2009 , p. 232
(en) " Modelización de Líneas de Transmisión " (visitada 14 de enero 2013 )
Kindersberger , 2009 , p. 234
Kindersberger , 2009 , p. 196
Kindersberger 2009 , p. 197
Kindersberger 2009 , p. 199
Thierry Van Cutsem , Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica , Universidad de Lieja,2012( leer en línea )
Kindersberger 2009 , p. 200
Kindersberger , 2009 , p. 204
Otros valores de impedancia en < (en) Grupo de trabajo de análisis de transitorios del sistema , Directrices de modelado para transitorios de conmutación , IEEE,2009( leer en línea )
Kindersberger , 2009 , p. 208
Kindersberger , 2009 , p. 213
Kindersberger , 2009 , p. 212
Kindersberger 2009 , p. 223
(in) Houssem Rafik y El Hana Bouchekara , Transmisión y distribución de energía eléctrica ,2010( leer en línea )
Kindersberger 2009 , p. 213

Traducción

distancia media geométrica , GMD en inglés
radio medio geométrico , GMR en inglés

Bibliografía

(de) Joseph Kindersberger , Grundlagen der Hochspannungs- und Energieübertragungstechnik , TU Munich,2009

Estándares

IEC 60287-1-1 Cables eléctricos - Cálculo de la corriente admisible - Parte 1-1: Ecuaciones de la intensidad de corriente admisible (factor de carga del 100%) y cálculo de pérdidas - General , 2006
Folleto CIGRÉ 531 Características eléctricas de los sistemas de cables , 2013

Enlace externo

" Presentación de la Universidad Laval sobre líneas de alta tensión " (consultado el 12 de enero de 2013 )