El sólido estático es la rama de lo estático que estudia el equilibrio de las partes de un mecanismo . Es un eslabón esencial en el dimensionamiento de sistemas mecánicos reales.
Las simplificaciones de la mecánica de puntos se basan en el hecho de que el punto es invariante por rotación y que todas las fuerzas se aplican al punto material. Entonces las fuerzas son suficientes para modificar su posición. Para los sólidos, compuestos por una infinidad de puntos materiales, los posibles desplazamientos, también llamados grados de libertad , son de dos tipos: traslaciones ( 3 direcciones principales) y rotaciones (alrededor de estas tres direcciones). Si bien las traslaciones solo pueden ser causadas por fuerzas , las rotaciones se generan por momentos de estas fuerzas u otros pares de fuerzas.
Cuando el equilibrio de un punto requiere el establecimiento de solo 3 relaciones algebraicas (ecuación vectorial de fuerzas en 3 dimensiones ), el del sólido requiere entonces la consideración de 3 ecuaciones adicionales (ecuación vectorial de momentos). El principio fundamental de la estática consiste entonces en el teorema resultante (suma cero de fuerzas) y el teorema del momento (suma cero de momentos).
El estudio del equilibrio de un sólido siempre requiere la consideración de estos 2 teoremas , incluso si ciertos casos simples, tratados en mecánica puntual, parecen resolverse con solo una de las 2 partes . Como regla general, no es posible tratar los dos aspectos (fuerzas y momentos) por separado: de hecho, es un problema complejo de 6 dimensiones .
Por otro lado, la estática del sólido, y más en general de los mecanismos, tiene en cuenta las “fuerzas transmisibles” en una conexión mecánica . El estudio de estas conexiones da a priori e inequívocamente ciertas características de las fuerzas y momentos de acción entre sólidos. El objetivo es la determinación completa de todos estos esfuerzos desconocidos.
El objetivo de la mecánica es la determinación de todas las fuerzas aplicadas a un sistema, a partir del conocimiento de una parte de ellas. En cuanto a los mecanismos, también se trata de conocer las cargas sufridas en todos los enlaces. El mecánico no tiene a priori información sobre la disposición real de estas fuerzas. Sin embargo, para cada conexión, cuyo comportamiento se conoce, ciertos componentes (fuerzas o momentos) son nulos o por el contrario transmisibles. Así podemos decir que la reacción de un apoyo plano sobre un adoquín es una fuerza necesariamente perpendicular al contacto si no hay fricción. Cuando finaliza el estudio, podemos describir cada fuerza de conexión que luego se convierte en la fuerza realmente transmitida.
Un sólido es un volumen, una porción de espacio tridimensional. Sin embargo, en varios casos, podemos usar la geometría plana para resolver los problemas: cuando los vectores de fuerza tienen solo dos componentes. Supondremos que este plano es el plano (O, x , y ).
Esta simplificación es posible si:
Tenga en cuenta que una pareja puede describirse como dos fuerzas opuestas. Como los vectores de fuerza están en el plano ( x , y ), los vectores de momento son necesariamente del eje z . Por lo tanto, podemos expresar los momentos como un escalar, positivo si el vector de momento está en la dirección del eje z , negativo en la dirección opuesta.
Según la hipótesis del problema plano, hay tres acciones mecánicas transmisibles: fuerzas a lo largo de xey, momento a lo largo de z. Por tanto, hay como máximo tres grados de conexión. ciertas conexiones mecánicas se vuelven así equivalentes; por ejemplo, una rótula puede transmitir las mismas fuerzas que un pivote del eje z.
En la práctica, por lo tanto, solo se utilizan tres conexiones mecánicas entre las diez conexiones elementales:
Estos tres grados de conexión se utilizan para bloquear tres grados de libertad: traslaciones a lo largo de xey y rotación a lo largo de z. Es el caso, por ejemplo, del sistema biela-manivela con vista al final de la manivela, del tren que la vaca mira pasar, del mecanismo de un reloj, etc. Por otro lado, la hipótesis de un El problema del plano no debe confundirse con el estático con la hipótesis del problema del plano en cinemática; la hipótesis de un problema plano en dinámica que combina los dos.
Si las conexiones son perfectas, entonces tenemos información adicional sobre las fuerzas transmisibles en estas conexiones, a saber:
Estos datos deben ingresarse en el balance de fuerzas externas a un sólido. El estudio permitirá identificar todas las fuerzas efectivamente transmitidas (incluidas en el conjunto de fuerzas transmisibles), es decir, para cada fuerza, su punto de aplicación, su línea de acción, su dirección y su intensidad.
Método gráficoMuchos problemas del plan se pueden resolver mediante un método gráfico ; el único caso problemático es la presencia de una pareja. Estos métodos gráficos resultan ser más rápidos que el método analítico, mucho más sencillos cuando se reduce el número de fuerzas y finalmente relativamente precisos (la precisión depende de la escala adoptada).
En este contexto, las acciones mecánicas están representadas por vectores de fuerza. Lo que lleva a considerar para cada acción:
El estudio solo se termina si se definen estas tres características (punto, línea y vector) para cada fuerza. Algunos casos raros no requieren un estudio completo.
Cuando el problema incluye una fuerza del tipo de torsión, entonces la resolución es parcialmente analítica.
Momentos y parejas de fuerzasBajo la hipótesis de problema plano, la expresión del momento puede modificarse. Ya no consideramos las rotaciones alrededor de un eje, sino solo en la dirección Z o de hecho alrededor de un punto (es decir, alrededor de un eje de dirección Z que pasa por el punto considerado). Como solo un componente es distinto de cero, la representación vectorial se vuelve escalar.
Momento de una fuerzaEl equilibrio de un sólido significa que tampoco se mueve (en un marco de referencia dado):
Entonces podemos considerar la capacidad de una fuerza para hacer que el sólido gire alrededor de un punto dado. Esta magnitud se llama momento de fuerza. No es necesario un pivote real. Este momento depende de varios factores: la intensidad de la fuerza, las posiciones relativas de la fuerza y el punto.
M (F) = +/- dF (en N m ) donde d brazo de palanca , es la distancia (mínima) entre el punto y la línea de acción de la fuerza. el signo se aprecia en función de si la fuerza tiende a girar en dirección directa (xay) o indirecta (y ax). Con otros modelos como el torsor, no surge la elección del signo; se deduce directamente de los cálculos y su significado está vinculado a la orientación del espacio (trihedro directo).
Es interesante ver ahora los casos de nulidad del momento de una fuerza. De la ecuación anterior, podemos deducir fácilmente dos:
Si 2 fuerzas opuestas (por lo tanto de la misma intensidad), se aplican al mismo cuerpo siguiendo dos líneas de acción distintas (por lo tanto estrictamente paralelas) y distantes de d , es fácil imaginar que estas fuerzas se compensan, sin embargo el equilibrio de la el cuerpo parece no estar asegurado. Esta disposición se llama un par de fuerzas . Para verificar esto, aplicando el método visto arriba, calculemos la suma de los momentos de estas 2 fuerzas, en diferentes puntos del espacio.
En todos los casos, esta suma tiene el mismo valor C = - dF . Este valor independiente del punto de pivote considerado se denomina torque . Detrás del nombre de pareja , las fuerzas desaparecen (ya que se compensan entre sí). En realidad, en la naturaleza, una pareja (sin fuerzas que la generen) no existe. El interés de la pareja es este resultado nulo. Todos habrán tenido la experiencia de aflojar la rueda de un automóvil con una manivela (fuerza única y momento de fuerza en relación al eje del tornillo) que se rasga fácilmente, o con una cruz (2 fuerzas opuestas que forman un par) asegurando no solo mayor intensidad de aflojamiento pero también mejor estabilidad de la herramienta. En un motor eléctrico, el devanado es tal que siempre hay dos "extremos de hilo" dispuestos simétricamente con respecto al eje de rotación y atravesados por corrientes que inducen dos fuerzas de Laplace opuestas, es decir, un par elemental.
En términos más generales, un par es la suma de momentos de fuerzas cuya resultante desaparece. Por lo demás, cada pareja anunciada ya no mostrará las fuerzas que la generan.
Este caso elemental permite mostrar cómo un problema de estática no disocia fuerzas y momentos. No solo el estudio permite determinar todas las fuerzas, sino también las condiciones geométricas de equilibrio. Para este caso de estudio, como para los siguientes, el principio fundamental de la estática nos da las siguientes relaciones:
Considere el estudio de un péndulo: la Figura 1 a continuación muestra cualquier posición. El objetivo es la determinación de las condiciones de equilibrio. los resultados de las acciones externas nos dan:
Por tanto, la ecuación de equilibrio relativa a las fuerzas da: Lo que define la acción en el pivote de forma inequívoca, las dos fuerzas forman entonces un par. Por tanto, la posición propuesta (Figura 2) no es una posición de equilibrio.
La ecuación de momentos, por ejemplo calculado en el punto A, nos da: ya sea
Lo que equivale a decir que A pertenece a la línea de acción del peso. Habríamos llegado a la misma conclusión, quizás más difícil, calculando los momentos en cualquier punto. Como regla general, el punto de cálculo de los momentos debe elegirse según un criterio de simplicidad de cálculo. Aquí A o G (centro de gravedad) aseguran la cancelación de uno de los momentos de fuerza.
Por tanto, las únicas posiciones de equilibrio son aquellas en las que el péndulo es vertical, por debajo (posición estable) o por encima del eje (posición inestable).
En resumen, para que un sólido sometido a dos fuerzas esté en equilibrio:
Para la resolución gráfica de un problema de estática, estas condiciones geométricas son equivalentes al enunciado del principio fundamental de la estática.
Caso de equilibrio de 3 fuerzasEste es sin duda el caso más frecuente en mecanismos poco hiperestáticos. Como en el estudio anterior, la aplicación simultánea de los 2 teoremas permite determinar tanto las fuerzas como su disposición.
Considere el caso de la carriola sostenida en un descenso por el único freno de la rueda delantera, estando libre la rueda trasera. Solo se conoce el peso del cochecito.
Una primera evaluación de las acciones externas muestra:
Parece difícil establecer la suma cero de las fuerzas ya que se desconocen dos de ellas. Sin embargo, podemos escribir . Geométricamente, esto da como resultado la construcción de un triángulo cerrado, del cual, por el momento, solo un lado está perfectamente definido.
Aquí se conocen al menos dos líneas de acción: las de la acción en B y las del peso. Coinciden en un punto que denotaremos por K. Sus respectivos momentos en K son, por tanto, cero. Si aplicamos el teorema a este punto K, obtenemos:
ya sea de donde
Necesariamente K pertenece a la línea de acción en A. Lo que equivale a decir que las tres líneas son concurrentes en K. Ahora conocemos la dirección de la línea de acción en A.
Volvamos a la primera ecuación; entonces es posible construir el triángulo. Al trazar primero el peso conocido, se traza una línea respectivamente paralela a las líneas de las otras dos acciones en cada extremo. Luego se forma el triángulo y la lectura de las longitudes de los lados da el resultado. Este método incluso impone el significado de acciones mecánicas. Restaría comprobar que la acción en A satisface las leyes de fricción de Coulomb para validar el equilibrio.
En resumen: para un sistema sometido a 3 fuerzas externas, incluidas 2 concurrentes :
Si las dos líneas conocidas no hubieran sido concurrentes, entonces habrían sido paralelas. Esto equivale al caso de la palanca dada anteriormente. En el caso de la fuerza paralela es necesario un cálculo (relativo a la escritura de los momentos) para determinar una relación entre las intensidades de las fuerzas.
Caso de equilibrio con 2 fuerzas y un parSi un sólido se somete a dos fuerzas (de puntos y líneas de acciones distintas), y un par de fuerzas (por lo tanto, acción de fuerza resultante cero), del equilibrio según el principio fundamental de la estática se siguen las siguientes consecuencias:
Por ejemplo, una dinamo accionada por una manivela : los devanados inducen un par cuya intensidad está relacionada con la corriente eléctrica generada. La acción sobre la manivela, que en el caso más favorable, es circunferencial (tangente al círculo descrito por la mano). Finalmente, la manivela se une al bastidor mediante una guía a lo largo de una conexión de pivote , cuya fuerza transmisible se aplica al eje. De la primera relación deducimos la dirección de la acción del rodamiento, que gira con la mano; a partir del segundo se establece entonces la relación entre la acción del empujador y el par de origen eléctrico.
La fricción afecta el comportamiento estático de las conexiones mecánicas . Algunos modelos, como las leyes de Coulomb, describen este comportamiento. Por lo tanto, incluso si esto complica el problema, no solo no induce una incógnita estática adicional, sino que, en ciertos casos, disminuye el número.
La consideración de la fricción a veces es obligatoria para resolver un problema, como equilibrar una balanza o dimensionar un embrague .
Este es, por ejemplo, el caso de un eje que participa en un engranaje helicoidal, un sistema de transmisión en ángulo o, por qué no, un juego de bielas de bicicleta cuando estamos interesados en las consecuencias de los pedales demasiado separados.
El torsor ofrece una escritura global y unificada de las fuerzas ( fuerzas y momentos ) que se ejercen sobre un sistema (generalmente un sólido). Dichos torsores generalmente se denominan torsores de estrés. Este formalismo es ciertamente pesado de manejar a mano y codicioso en papel, pero permite la resolución sistemática de problemas mecánicos estáticos y se presta bien al modelado y al procesamiento por computadora. En virtud de su forma analítica, permite sobre todo un modelado parametrizado de un problema, que da acceso por ejemplo a todas las posiciones de un mecanismo, a diferencia del estudio gráfico más rápido, pero que debe rehacerse para cada caso y que es mucho menos preciso.
Una fuerza está perfectamente definida cuando conocemos el vector de fuerza (también llamado resultante) y el punto de aplicación (donde su momento desaparece). El concepto de fuerza, en particular las fuerzas de conexión, es mucho más amplio y el torsor permite la descripción de todos los casos.
La acción mecánica torsorLa fuerza torsor, en su forma desarrollada, proporciona estos elementos de reducción, a saber:
Es necesario considerar 3 niveles de escritura de torsor:
Ejemplos de acciones mecánicas representadas por torsores.
Esta fuerza torsor representa las fuerzas transmitidas a través de la sección S (x) de una viga. Puede calcularse aislando la parte aguas arriba (sección [0, x]). Siempre se define en el centro de inercia G (x) de la sección considerada S (x). Artificio de cálculo utilizado en resistencias de materiales. Así, las fuerzas sufridas dentro de la pieza se vuelven externas para la sección aislada, permitiendo la aplicación del principio de estática.
Con el formalismo de torsores , el principio fundamental de la estática (PFS) se expresa de la siguiente manera
Si un sistema material está en equilibrio bajo el efecto de acciones mecánicas modeladas por los torsores ; ; …, Entonces la suma de estos torsores es igual al torsor nulo.Es
La inversa (suma de los torsores del equilibrio cero ) es falsa. En muchos libros, el principio fundamental de la estática está escrito al revés.Esta relación se generaliza en dinámica , al definir un torsor dinámico que une, bajo un mismo principio, la aceleración y el momento dinámico de un sólido en un mismo objeto matemático. Las leyes del movimiento de Newton permiten entonces escribir las relaciones que conectan la llave con las fuerzas externas dinámicas.
Escrito en la forma más desarrollada, el equilibrio del sistema da 6 ecuaciones cuyas incógnitas son los componentes de cada factor de acción externa.
Método para resolver un problema de estática con la herramienta de torsiónResolver un problema de estática no es muy diferente de otros métodos.
Para muchos problemas, a menudo es necesario aislar varios sistemas, lo que multiplica el número de ecuaciones disponibles, pero también el número de incógnitas.
Teorema resultante ( 3 ecuaciones )
Teorema del momento ( 3 ecuaciones )
Recordatorio: todos los momentos se expresan en el mismo punto.
Resolver el sistema de ecuacionesUn problema de estática tendrá, en el mejor de los casos, un número de ecuaciones igual a 6 veces el número de partes. Desafortunadamente, el aislamiento de un solo conjunto de un mecanismo generalmente no es suficiente, el número de conexiones desconocidas es fácilmente mayor que 6. Por lo tanto, es necesario elegir otros subsistemas para obtener nuevas ecuaciones de equilibrio (a riesgo de agregar nuevas incógnitas vinculantes); no es raro tener que resolver un sistema con 18 o incluso 24 ecuaciones en un mecanismo simple. El gráfico de fuerzas es una herramienta de toma de decisiones para elegir los sistemas mecánicos a aislar para obtener el sistema menos costoso en términos de cálculo.
En el ejemplo de enfrente, el estudio del equilibrio de la manivela permite establecer la relación entre el par externo y las acciones de conexión ( 6 ecuaciones ). Entonces el “aislamiento” del conjunto {biela + oscilador} permitirá (quizás) la comparación con F (es decir 12 ecuaciones ). En realidad, también será necesario aislar la biela ( 18 ecuaciones en total). Además este problema puede incluir más incógnitas que ecuaciones, y un primer trabajo consistirá en eliminar las incógnitas de conexión por consideraciones de holgura en las conexiones. El estudio estático de los mecanismos, por lo tanto, cae dentro de la competencia del constructor mecánico que combina tanto el conocimiento tecnológico como el físico.
Sin embargo, en muchos problemas (isostáticos), vemos aparecer dos sistemas independientes de ecuaciones:
Dependiendo de las necesidades, no es necesario resolver todas las ecuaciones. El llamado método de las potencias virtuales permite separar matemáticamente estos dos grupos de incógnitas.
En el caso de los sistemas hiperestáticos, el número de ecuaciones sigue siendo insuficiente. Luego, se recurre a la eliminación de lo desconocido por consideraciones de holgura en las conexiones, o luego a la escritura de nuevas ecuaciones planteando el estudio del comportamiento elástico de ciertas partes.