Teorema de varignon

Hay dos teoremas demostrados por Pierre Varignon .

Teorema matemático

Teorema : si ABCD es cualquier cuadrilátero e I, J, K, L los puntos medios de sus lados, entonces IJKL es un paralelogramo .

Por otro lado, si ABCD es plano y convexo, su área es el doble que la de IJKL.

Como corolario, las medianas de un cuadrilátero tienen el mismo punto medio (siendo las diagonales del paralelogramo).

El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las longitudes de las diagonales del cuadrilátero.

Demostración

Mediante la aplicación del teorema del punto medio , mostramos que los lados opuestos de IJKL son cada uno paralelo a una diagonal de ABCD, por lo tanto, paralelos entre sí.

Según el teorema de Tales , la base b de IJKL es igual a la mitad de la diagonal d de ABCD, y la altura h es igual a la mitad de la altura h 'tomada de un vértice a otro de ABCD (perpendicular a la diagonal).

Entonces . ${\ displaystyle Aire (ABCD) = {\ frac {1} {2}} \ times d \ times {h ^ {\ prime}} = {\ frac {1} {2}} \ times 2b \ times 2h = 2 \ times Aire (IJKL)}$

Una prueba algebraica del teorema de Varignon

Al tomar las notaciones del dibujo anterior y al adoptar las notaciones baricéntricas , tenemos:

{\ Displaystyle I = {\ frac {1} {2}} (A + B), \, J = {\ frac {1} {2}} (B + C), \, K = {\ frac {1 } {2}} (C + D), \, L = {\ frac {1} {2}} (A + D)}

por tanto (por asociatividad del baricentro)

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (I + K) = {\ frac {1} {4}} (A + B + C + D) = {\ frac {1} {2}} ( J + L)}

que expresa que IJKL es un paralelogramo.

Esta demostración ilustra la "bonita metáfora" de Nicolas Bourbaki , relatada por Georges-Théodule Guilbaud en su prólogo a un libro de Hermann Weyl : "Bajo esta despiadada claridad (la del álgebra), la geometría clásica se desvanece repentinamente y pierde su brillo. "

Además, disipa cualquier duda con respecto a cuadriláteros transversales o cuadriláteros cóncavos.

Teorema mecánico

Una fuerza se descompone en dos fuerzas y : $\ vec {F}$ ${\ vec {F}} _ {1}$ ${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}$

{\ Displaystyle {\ vec {F}} = {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {F}} _ {2}}

El teorema de Varignon establece que

el momento de fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de fuerzas y con respecto a este mismo punto,

\ vec {F}

{\ vec {F}} _ {1}

{\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}

si consideramos cualquier punto A :

{\ Displaystyle M _ {{\ vec {F}} / A} = M _ {{\ vec {F_ {1}}} / A} + M _ {{\ vec {F_ {2}}} / A} }

(en valor algebraico ),

o bien

{\ Displaystyle {\ vec {M}} _ {{\ vec {F}} / A} = {\ vec {M}} _ {{\ vec {F_ {1}}} / A} + {\ vec { M}} _ {{\ vec {F_ {2}}} / A}}

(en vector)

Referencias

Jean Dieudonné , Álgebra lineal y geometría elemental , París, Hermann , coll. "Enseñanza de las ciencias",1964, ex. 2, pág. 50.
Hermann Weyl ( trad. Del inglés), Symmetry and Modern Math , Paris, Flammarion ,1996( 1 st ed. 1964), 151 p. ( ISBN 2-08-081366-8 , OCLC 36104865 ).

Ver también

Artículo relacionado

Teorema de Wittenbauer

enlaces externos

Demostración de Varignon El paralelogramo de Varigon por Christian Bissières
Animación del teorema de Varignon de Vincent Lesbros.