Desigualdad variacional

En matemáticas , una desigualdad variacional problema abarca generalizando una serie de problemas clásicos tales como la búsqueda de un cero de una función , la búsqueda de un punto de un estacionaria optimización problema, el problema de complementariedad lineal , etc . El formalismo se introdujo por primera vez para analizar ciertos problemas de modelado de ecuaciones diferenciales parciales con contacto o con borde libre ( problema de Signorini ) antes de convertirse en un marco formal autónomo que se aplicaba a varios problemas.

Definición del problema

Dado un espacio de Banach cuyo dual topológico se observa (se observa el gancho de dualidad ), un conjunto no vacío y una función , un problema de desigualdad variacional es encontrar un punto tal que $\ mathbb {E}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} '}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ $K \ subconjunto {\ mathbb {E}}$ ${\ Displaystyle F: K \ to \ mathbb {E} '}$ $x \ in \ mathbb {E}$

${\ Displaystyle \ operatorname {IV} (F, K) \ qquad \ left \ {{\ begin {array} {l} x \ in K \\\ langle F (x), yx \ rangle \ geqslant 0, \ quad \ forall y \ in K. \ end {array}} \ right.}$

Por tanto, se observa este problema . Geométricamente, si es un espacio de Hilbert , si su dual se identifica con y si es convexo , se trata de encontrar un punto tal que esté en el cono normal en en . $\ operatorname {IV} (F, K)$ $\ mathbb {E}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} '}$ $\ mathbb {E}$ $K$ $x \ en K$ $-F (x)$ $K$ $X$

Cuando los datos tienen una estructura particular, nos encontramos con problemas clásicos.

Entonces , el problema es encontrar un cero de . ${\ Displaystyle K = \ mathbb {E}}$ $F$
Si es un espacio de Hilbert , si es un convexo cerrado no vacío y si es el gradiente de una función convexa diferenciable , el problema es minimizar el sobre . $\ mathbb {E}$ $K$ ${\ Displaystyle F = \ nabla f}$ $f: \ mathbb {E} \ a \ R$ $F$ $K$
Si , si es el orador positivo de y si es una función afín ( es un mapa lineal y ), encontramos el problema de la complementariedad lineal . ${\ mathbb {E}} = \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle K = \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle F: x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mapsto Mx + q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $METRO$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$

Existencia de solución

Si es un espacio de Hilbert , un punto es una solución de si, y solo si, es un punto fijo de la función $\ mathbb {E}$ $X$ $\ operatorname {IV} (F, K)$

${\ Displaystyle \ varphi: x \ in K \ to P_ {K} (xF (x)) \ in K.}$

Notamos el proyector ortogonal encendido . Por tanto, los resultados de la existencia de un punto fijo pueden utilizarse para obtener las condiciones de existencia de la solución del problema . En dimensión finita, el siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema del punto fijo de Brouwer , aplicado a la función . $PAQUETE}$ $K$ $\ operatorname {IV} (F, K)$ $\ varphi$

Existencia de solución (dimensión finita) : si es continuo y si es un convexo compacto no vacío, entonces el problema tiene solución. $F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ $K \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {IV} (F, K)$

Métodos de resolución

Apéndices

Notas

Obras generales

(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Desigualdades Variacionales Finito-Dimensionales y Problemas de Complementariedad (2 volúmenes). Serie Springer en Investigación de Operaciones. Springer-Verlag, Nueva York.
R. Glowinski, J.-L. Lions, R. Trémolières (1976). Análisis numérico de desigualdades variacionales - Volumen 1: Teoría general y primeras aplicaciones - Volumen 2: Aplicaciones a fenómenos estacionarios y evolutivos . Dunod, París.