Interconexiones entre la teoría de la probabilidad y la estadística
Las interconexiones entre la teoría de la probabilidad y la estadística (la ciencia de la estadística) muestran los vínculos y las diferencias entre estos dos campos matemáticos que forman las ciencias de la aleatoriedad . Estas ciencias están interactuando con otras disciplinas matemáticas pero también con las ciencias físicas , las ciencias económicas y las ciencias de la vida , etc.
Demos algunas primeras definiciones generales: la teoría de la probabilidad es el estudio matemático de fenómenos caracterizados por el azar y la incertidumbre; la estadística es recopilar, procesar, interpretar y presentar un conjunto de datos.
Desambiguación
Clasifiquemos los homónimos de probabilidades y estadísticas por dominio.
En probabilidades
- La teoría de la probabilidad (a veces llamada "probabilidad", "probabilidad matemática" o "teoría de la probabilidad") es el fenómeno matemático de campo caracterizado por la aleatoriedad y la incertidumbre.
- Una probabilidad es la evaluación de la probabilidad de un evento .
- En el artículo probabilidades (matemáticas elementales) , presentamos la noción de probabilidad y las primeras herramientas útiles en este campo.
- La probabilidad condicional de un evento es la probabilidad de que ese evento sepa que ocurre otro evento.
- Los términos probabilidad a priori y probabilidad a posteriori se utilizan en el campo de la inferencia bayesiana para denotar un cálculo de probabilidades antes o después de un experimento.
En estadisticas
En el lenguaje cotidiano, las estadísticas en matemáticas elementales son el resultado de una encuesta que consiste en observar una determinada población y determinar la distribución de un determinado carácter estadístico (tamaño, número de niños, superficie, etc.) en esta población.
- La estadística (denotada estadística y a veces también llamada probabilidad estadística y estadística matemática) es el dominio matemático de recopilar, procesar e interpretar un conjunto de datos. Tenga en cuenta que los términos estadística o el estudio de la estadística se utilizan a veces (por abuso de lenguaje) para este campo matemático.
- Una estadística ( estadística plural) es una cantidad calculada a partir de una serie de observaciones (o muestra ). También estamos hablando de datos estadísticos.
- La inferencia estadística (o estadística inferencial) es un conjunto de métodos para sacar conclusiones confiables a partir de muestras de datos estadísticos. La interpretación de los datos estadísticos es, en gran medida, el punto clave de la inferencia estadística.
- La estadística descriptiva es la rama de la estadística que incluye las muchas técnicas utilizadas para describir un conjunto de datos relativamente grande .
- La estadística básica continua es un campo de las matemáticas elementales que se ocupa del caso en que en una encuesta estadística , el carácter estadístico es un valor continuo.
- La estadística elemental discreta es un campo de la matemática elemental que trata donde, en una encuesta estadística, el carácter estadístico toma un número finito razonable de valores.
- La Estadística "matemática" es la rama de la estadística donde el desafío es encontrar estimadores sensibles (insesgados y eficientes). El análisis de las propiedades matemáticas de estos estimadores está en el corazón del trabajo del matemático especializado en estadística.
En probabilidad y estadística
- Una ley de probabilidad describe las probabilidades de cada valor de una variable aleatoria discreta o la probabilidad de que la variable aleatoria continua pertenezca a un intervalo arbitrario. Es la caracterización de un fenómeno aleatorio. Las leyes de la probabilidad se estudian en la teoría de la probabilidad y se utilizan en estadística .
Definiciones más detalladas
- En la teoría de la probabilidad , los probabilistas están interesados en los resultados teóricos de un experimento gobernado por la aleatoriedad, aleatoriedad que modelamos mediante leyes adecuadas, leyes que consideramos que corresponden al modelo real. Podemos hablar de “ conocimiento a priori ” ya que el estudio se realiza sin datos.
“En mi opinión, la teoría de la probabilidad es una disciplina muy similar a la geometría o la mecánica racional. Tiene como objetivo la descripción sistemática de ciertos fenómenos reales y hace uso de una construcción idealizada de nociones y definiciones abstractas. "
- Richard von Mises , 1932
- En estadística , los estadísticos estudian datos empíricos (es decir, datos de situaciones concretas). Recopilándolos (durante una encuesta, por ejemplo), analizándolos cualitativa y / o cuantitativamente (mediante tablas de datos, por ejemplo), interpretándolos para encontrar sus propiedades y luego extrapolando para hacer suposiciones sobre ellos. Datos futuros.
Podemos hablar de “ conocimiento a posteriori ” ya que el estudio se realiza tras la recogida de datos.- Algunas personas utilizan el término "probabilidad estadística" para referirse a las estadísticas . En este caso, la estadística se considera una rama de la teoría de la probabilidad .
- Para analizar datos estadísticos se utilizan herramientas probabilísticas (como la expectativa matemática o la varianza ), algunos consideran que la teoría de la probabilidad es solo una herramienta para la estadística.
“La estadística es una forma de pensar que permite recolectar, procesar e interpretar los datos que nos encontramos en diversos campos, y especialmente en las ciencias de la vida, porque estos datos tienen una característica esencial: la variabilidad. "
- Daniel Schwartz , 1994
Aquí consideramos que la probabilidad y la estadística son dos áreas de la ciencia aleatoria que interactúan entre sí.
“La teoría de la probabilidad y la estadística son dos campos importantes, integrados en nuestras actividades diarias. En el mundo de la industria, las compañías de seguros dependen en gran medida de las leyes probabilísticas. La física en sí es de naturaleza esencialmente probabilística. Lo mismo ocurre con los fundamentos de la biología. "
- Warren Weaver , 1963
“Quería testificar que los estadísticos no consideraban a los matemáticos como hermanos enemigos: tenga la seguridad de que estos buenos sentimientos son recíprocos. "
- Émile Borel , extracto de su discurso inaugural para la presidencia de la SSP en 1922
Enlaces a través de un ejemplo
Tomemos un ejemplo sencillo: el del juego de lanzar una moneda .
Una pregunta estadística sería: ¿Está equilibrada la moneda? Es decir, más matemáticamente, ¿la probabilidad de obtener colas es 1/2? (ver esta sección )Detallemos cómo funciona una prueba estadística . Comenzamos estableciendo una hipótesis estadística : (H0) La probabilidad de obtener cruz es 1/2 . También nos damos un umbral de riesgo, es decir un porcentaje por debajo del cual aceptamos rechazar H0 . Por ejemplo, aceptamos que en el 5% de los casos en los que H0 es verdadera, la prueba afirma que H0 es falsa. Establecimos un número significativo de experimentos a realizar para que la prueba estadística sea válida (ver, por ejemplo, esta sección ). Este número debe ser lo suficientemente pequeño para poder alcanzarlo. Se realizaron los experimentos y se recogieron los resultados, es decir que contamos la frecuencia de la pila de resultados . Luego se utiliza una prueba estadística para comparar este valor empírico con el valor esperado real: 1/2. Concluimos sobre la aceptación o rechazo de H0 en función del umbral fijado.
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Proporción de caras en un juego de cara o cruz. Para cada una de las 10,000 series de 200 lanzamientos, incluya la proporción de cara .
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Curva, denominada "campana", de la ley normal que es la representación teórica de la frecuencia de la cara .
En este caso, ya conocemos la ley de probabilidad asociada con el juego de lanzamiento de moneda. Por una ley de Kolmogorov cero sabemos que esta probabilidad es 0 o 1. Por lo tanto, es 0 ya que su complementaria (obtener al menos una cara ) es una probabilidad positiva.
Otra pregunta probabilística: si N designa el número del primer lanzamiento al que aparece cruz por primera vez, ¿cuál es la ley de N?Conociendo la independencia de los lanzamientos y la probabilidad de obtener cruz (1/2), deducimos que esta ley es una ley geométrica . Es decir, la probabilidad de que N sea k es (1/2 para N = 1, 1/4 para N = 2, 1/8 para N = 3, etc.).
Notas y referencias
Notas
- La diferencia aquí es el uso de un lugar de la .
Referencias
- “ Probabilidad y estadística: hacia un nuevo lugar en el mundo del mañana. Una mesa redonda presidida por Etienne Pardoux ” ,2010
- " Sitio web de la Sociedad de Estadística Francesa " (consultado el 4 de octubre de 2011 )
- Alan Rueg , Probabilidad y estadística , Prensas polytechniques et Universitaire romandes,1994, 4 ª ed. , 267 p. ( ISBN 2-88074-286-2 , leer en línea ) , Prólogo
- [1] Richard von Mises , Teoría de la probabilidad. Fundación y aplicaciones, anales del PHI, volumen 3 n ° 2 (1932), p137-190.
- " del Consejo Nacional de Universidades página web, la sección 26 " (visitada 4 de octubre de, 2011 )
- [2] a priori y a posteriori términos, véase también esta subsección
- [3] Jean-Claude Régnier, Propósitos y desafíos de la enseñanza de la estadística , halshs-00405986, versión 1 - 23 de julio de 2009.