Integral de Bochner

En matemáticas , la integral de Bochner , que lleva el nombre de su creador Salomon Bochner , extiende la definición de integral de Lebesgue a funciones con valores en un espacio de Banach , como límite de integrales de funciones por etapas .

Definición

Sea ( X , Σ, μ) un espacio medido . Tratamos de construir la integral de funciones definidas en X con valores en un Banach B espacio . La integral de Bochner se define de manera similar a la integral de Lebesgue. En primer lugar, una función escalonada es cualquier suma finita de la forma:

{\ Displaystyle s (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i}}

donde E i son miembros de σ-álgebra Σ, b i son elementos de B , y χ E es la función característica de E , también llamada función indicadora. Si μ ( E i ) es finito cualquiera que sea b i ≠ 0, entonces la función por etapas es integrable y la integral está definida por:

{\ Displaystyle \ int _ {X} \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i} \ right] \, {\ rm {d }} \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu (E_ {i}) b_ {i}}

exactamente como para la integral de Lebesgue ordinaria (se comprueba que esta definición no sea ambigua , aunque no se impone a E i que sea disjunto). Una función medible de Bochner (en) ƒ : X → B es integrable en el sentido de Bochner si existe una secuencia de funciones por etapas integrables s n tal que:

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} \ | f-s_ {n} \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu = 0,}

donde la integral en el lado izquierdo es una integral de Lebesgue ordinaria. En este caso, la integral de Bochner se define por:

{\ Displaystyle \ int _ {X} f \, {\ rm {d}} \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} s_ {n} \, {\ rm {d} } \ mu.}

Una función es integrable en el sentido de Bochner si, y solo si, pertenece al espacio de Bochner (en) L 1 .

Propiedades

Muchas propiedades familiares de la integral de Lebesgue son válidas para la integral de Bochner. El criterio de integrabilidad de Bochner es particularmente útil, establece que si ( X , Σ, μ) es un espacio medido, entonces una función medible en el sentido de Bochner ƒ : X → B es integrable en el sentido de Bochner si y solo si:

{\ Displaystyle \ int _ {X} \ | f \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu <\ infty.}

Se dice que una función ƒ : X → B es medible en el sentido de Bochner si es igual μ-casi en todas partes a una función g con valores en un subespacio separable B 0 de B , y tal que la imagen inversa g −1 ( U ) de cualquier parte abierta U en B pertenece a Σ. De manera equivalente, f es el límite μ-casi en todas partes de una secuencia de funciones escalonadas.

Si T es un operador lineal continuo y ƒ es integrable en el sentido de Bochner, entonces Tƒ es integrable en el sentido de Bochner y la integración y T se pueden intercambiar:

{\ Displaystyle \ int _ {X} Tf {\ rm {d}} \ mu = T \ int _ {X} f {\ rm {d}} \ mu.}

Este resultado también es cierto para los operadores cerrados con la condición de que Tƒ también sea integrable, lo que es trivialmente cierto para los operadores T acotados de acuerdo con el criterio mencionado anteriormente.

Una versión del teorema de la convergencia dominada se aplica a la integral de Bochner. Específicamente, si ƒ n : X → B es una secuencia de funciones medibles sobre un espacio medido completo que converge casi en todas partes a una función límite ƒ y si existe g ∈ L 1 (μ) tal que

{\ Displaystyle \ | f_ {n} (x) \ | _ {B} \ leq g (x)}

para casi todo x ∈ X , entonces

{\ Displaystyle \ int _ {X} \ | f-f_ {n} \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu \ to 0}

cuando n → ∞ y

{\ Displaystyle \ int _ {E} f_ {n} \, {\ rm {d}} \ mu \ to \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu}

para todo E ∈ Σ.

Si f es integrable en el sentido de Bochner, entonces la desigualdad

{\ Displaystyle \ left \ | \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu \ right \ | _ {B} \ leq \ int _ {E} \ | f \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu}

es cierto para todos los E ∈ Σ. En particular, la función

{\ Displaystyle E \ mapsto \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu}

define una medición vectorial (en) denumerablemente aditiva en X con valores en B , que es absolutamente continua con respecto a μ.

Propiedad de Radon-Nikodym

Una propiedad importante de la integral de Bochner es que el teorema de Radon-Nikodym generalmente no se aplica. Esto lleva a definir la propiedad denominada Radon-Nikodym para los espacios de Banach. Si μ es una medida en ( X , Σ) entonces B tiene la propiedad de Radon - Nikodym con respecto a μ si para cualquier medida vectorial contable aditiva en ( X , Σ) con valores en B , con variación acotada y absolutamente continua con respecto a μ, existe una función μ-integrable g : X → B tal que: $\gama$

{\ Displaystyle \ gamma (E) = \ int _ {E} g \, {\ rm {d}} \ mu}

para cualquier conjunto medible E ∈ Σ.

Un espacio de Banach B tiene la propiedad de Radon-Nikodym si B tiene esta propiedad con respecto a cualquier medida finita . El espacio ℓ 1 tiene esta propiedad, pero este no es el caso del espacio c 0 o espacios , para un delimitado por y para K un espacio compacto infinito. Los espacios con la propiedad Radon-Nikodym incluyen espacios duales separables (teorema de Dunford - Pettis ) y espacios reflexivos , en particular espacios de Hilbert . ${\ Displaystyle L ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}$ $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle C (K)}$

Notas y referencias

(es) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Bochner integral " ( ver la lista de autores ) .

(en) Joseph Diestel y John Jerry Uhl , Medidas vectoriales , AMS ,1977, 322 p. ( ISBN 978-0-8218-1515-1 , leer en línea ) , pág. 61.
Diestel y Uhl 1977 , p. 79-81.
Diestel y Uhl 1977 , p. 76, Corolario 13 ( Phillips (en) ).

Ver también

Artículo relacionado

Pettis integral ( pulg )

Bibliografía

(de) Salomon Bochner, “ Integración von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind ” , Fundamenta Mathematicae , vol. 20,1933, p. 262-276 ( leer en línea )
(en) Joseph Diestel , Secuencias y series en espacios Banach , Springer-Verlag , coll. " GTM ",1984, 261 p. ( ISBN 0-387-90859-5 )
(en) Einar Hille y Ralph S. Phillips (en) , Análisis funcional y semi-grupos , AMS,1957( ISBN 0-8218-1031-6 )
(es) Serge Lang , Análisis real y funcional , Springer,1993, 3 e ed. , 580 p. ( ISBN 978-0-387-94001-4 )

enlaces externos

(en) VI Sobolev , “Bochner integral” , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea )
(en) D. van Dulst , "Medidas vectoriales" , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea )
(en) Diómedes Bárcenas, “ El teorema radón-Nikodim para los espacios reflexivos de Banach ” , Divulgaciones Matemáticas , vol. 11, n o 1,2003, p. 55-59 ( leer en línea )