Identificación del sistema

El sistema de identificación o identificación paramétrica es una técnica de automática de obtención de un modelo matemático de un sistema a partir de medidas.

Principios y objetivos

La identificación comprende aplicar u observar señales de perturbación a la entrada de un sistema (por ejemplo, un sistema electrónico, estos pueden ser aleatorios binarios o pseudoaleatorios, galés, sinus en múltiples frecuencias ...) y analizar la salida para obtener un modelo puramente matemático. Los diferentes parámetros del modelo no se corresponden con ninguna realidad física en este caso. La identificación se puede realizar en tiempo (espacio temporal) o en frecuencia ( espacio de Laplace ). Por tanto, con esta técnica es posible evitar modelos puramente teóricos basados ​​en ecuaciones físicas (generalmente ecuaciones diferenciales ), que requieren mucho tiempo para su obtención y, a menudo, son demasiado complejas para el tiempo de desarrollo dado.

Los diferentes tipos de modelos

El principio de una identificación paramétrica es extraer un modelo matemático de las observaciones. El modelo debe permitir calcular la salida del proceso y en cualquier momento t si se conocen las condiciones iniciales del sistema. Para ello, podemos utilizar los valores de las entradas en el momento actual y anterior ( u (t), u (t-1), ... ) y los valores anteriores de la salida ( y (t- 1), y (t-2), ... ) en el caso de un modelo regresivo.

Sigue siendo importante tener conocimientos básicos del sistema para elegir un tipo de modelo adecuado.

• Modelo con una entrada / una salida ( SISO ) o múltiples entradas y múltiples salidas ( MIMO )
• Modelo lineal o no lineal (en este caso, ¿qué no es lineal con qué?)
• Modelo continuo o discreto
• Modelo regresivo o independiente: para un modelo regresivo, la salida en un instante t , y (t), depende de los instantes anteriores (y (ti)).
• Modelo estocástico o determinista

En general, el modelo se representa como una función de transferencia usando la transformada Z . La identificación requiere una estructura de modelo conocida a priori para identificar varios parámetros en esta estructura. Aquí están las 3 estructuras de modelo más utilizadas:

El modelo ARX

El modelo ARX (modelo auto regresivo con entradas externas ) es un modelo auto regresivo que incluye entradas u (t) y ruido blanco de media cero. Además, el modelo incluye un retardo puro de k golpes de reloj. Si el sistema se muestrea en un periodo de muestreo T , entonces el retardo será k * T . ζ(t){\ Displaystyle \ zeta (t)}

En forma temporal  :

Y(t)=B⋅[tu(t-k),tu(t-1-k),...]T-A⋅[y(t-1),y(t-2),...]T+A⋅[ζ(t),ζ(t-1),...]{\ Displaystyle Y (t) = B \ cdot [u (tk), u (t-1-k), ...] ^ {T} -A \ cdot [y (t-1), y (t- 2), ...] ^ {T} + A \ cdot [\ zeta (t), \ zeta (t-1), ...]}

En un espacio discreto usando la transformada Z  :

y(z)=z-k⋅B(z-1)A(z-1)⋅tu(z)+1A(z-1)⋅ζ(z){\ Displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {1} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot \ zeta (z)}

El modelo ARMAX

El modelo ARMAX ( Promedio móvil regresivo automático con entradas externas ) toma los atributos del modelo ARX pero incluye una función de transferencia con un promedio ajustable sobre el ruido blanco . En general, el ruido blanco se utiliza para modelar perturbaciones no medibles en el modelo. Sin embargo, estas perturbaciones no medibles (fluctuaciones térmicas, vibraciones del suelo, etc.) rara vez tienen una media cero y también pueden responder a un modelo.

y(z)=z-k⋅B(z-1)A(z-1)⋅tu(z)+T(z-1)A(z-1)⋅ζ(z){\ Displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {T (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot \ zeta (z)}

El modelo ARIMAX (o CARIMA)

En el modelo ARIMAX ( Media móvil integrada auto regresiva con entradas externas ), el modelo de ruido está directamente integrado:

y(z)=z-k⋅B(z-1)A(z-1)⋅tu(z)+T(z-1)(1-z-1)⋅A(z-1)⋅ζ(z){\ Displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {T (z ^ {- 1})} {(1-z ^ {- 1}) \ cdot A (z ^ {- 1})}} \ cdot \ zeta (z)}

Procedimiento de identificación

Para obtener un patrón consistente, es importante energizar el proceso con todas las frecuencias dentro de su rango de operación. Por lo tanto, la señal de entrada aplicada debe ser rica en frecuencias (tener un espectro amplio). En general, se aplica una señal periódica pseudoaleatoria (PRBS).

Cuando el sistema tiene múltiples entradas / múltiples salidas, es importante aplicar señales descorrelacionadas para no introducir un sesgo de identificación. Una idea común de excitar las entradas una tras otra es un mal método porque introduce un sesgo de identificación y no refleja el funcionamiento normal del sistema. Es importante seguir un procedimiento riguroso para identificar un proceso:

• Determinación de un protocolo de prueba: propiedades estadísticas de las señales de entrada para escanear todas las frecuencias de interés, la relación señal / ruido debe ser lo suficientemente alta y el número de puntos de medición debe ser significativo para la prueba (> 1000)
• Determinación de la estructura del modelo: tipo de modelo, orden y retraso
• Identificación: elección de un algoritmo para encontrar el modelo minimizando los errores entre las medidas y el modelo, en general un algoritmo basado en el método de mínimos cuadrados (LS, RLS, RELS).
• Validación del modelo: Realización de varias pruebas de verificación. Es necesario para este paso utilizar medidas diferentes a las utilizadas durante la identificación.

También son posibles otros enfoques, en particular al observar las matrices subespaciales de un sistema (pero menos eficientes que el anterior para sistemas no lineales).

Por tanto, esto puede dar fácilmente un modelo menos "teórico" y ayudar a mejorar el rendimiento, el control o la predicción (para los valores de las existencias en un sistema económico, por ejemplo).

Existen cajas de herramientas Matlab y Scilab para resolver algoritmos (tipo ARMAX por ejemplo). Se crearán los de Octave .

Bibliografía

• Ioan Doré Landau , Identificación y control de sistemas. 2 nd  edición revisada y ampliada , Hermès, 1993 ( ISBN  2-86601-365-4 )
• Informes 06008 y 05603 del Laboratorio de Arquitectura y Análisis de Sistemas disponibles a través de http://www.laas.fr
• (en) Lennart Ljung, Identificación del sistema, Teoría para el usuario ( ISBN  0-13-881640-9 )
• (en) Rik Pintelon y Johan Schoukens, Identificación de sistemas, un enfoque de dominio de frecuencia ( ISBN  0-7803-6000-1 )