Grupo ordenado
Un grupo ordenado es un grupo provisto de una relación de orden respetada por las traducciones.
Definiciones
Sea ( G ,.) Un grupo (la ley de grupo que se está denotado multiplicativa ) y ≤ una relación de orden en G . Decimos que esto es compatible con la ley del grupo cuando para todos los elementos x , y y z del grupo, la relación x ≤ y implica las dos relaciones zx ≤ zy y xz ≤ yz . Un grupo ordenado es un conjunto provisto simultáneamente con una ley de grupo y una relación de orden compatible. Llamamos grupo totalmente ordenado a un grupo ordenado cuya relación de orden es total .
En un grupo ordenado G , se dice que un elemento es positivo si es mayor que el elemento neutro e G , y negativo si es menor que él.
Una parte P de un grupo G forma el conjunto de elementos positivos de G para un cierto orden compatible si y solo si P es un cono positivo , es decir: PP ⊂ P , P ∩ P −1 = { e G } y P es estable por conjugación .
Ejemplos de
El grupo aditivo de números reales , (ℝ, +), es un grupo abeliano totalmente ordenado por el orden habitual.
Gracias a las tres primeras propiedades a continuación, deducimos inmediatamente muchos otros grupos abelianos total o parcialmente ordenados.
Propiedades
- Cualquier subgrupo de un grupo ordenado (resp. Totalmente ordenado) es un grupo ordenado (resp. Totalmente ordenado) por la restricción del orden del grupo.
- Cualquier producto (incluso infinito) de grupos ordenados es un grupo ordenado por el orden parcial producido . Si el conjunto de índices está bien ordenado , el producto también se proporciona con un orden lexicográfico que también es compatible.
- Cualquier grupo isomorfo a un grupo ordenado (resp. Totalmente ordenado) es un grupo ordenado (resp. Totalmente ordenado) por el orden inducido .
- En un grupo ordenado, para todos los elementos x , y , x ' e y' , las desigualdades x ≤ y y x ' ≤ y' conducen a la desigualdad xx '≤ yy' .En otras palabras, podemos componer, miembro por miembro, desigualdades del mismo significado. De hecho, según la definición, la desigualdad x ≤ y implica xx ' ≤ yx' . Asimismo, la desigualdad x ' ≤ y' resulta en yx ' ≤ yy' . Concluimos por la transitividad de la relación de orden.
- En un grupo ordenado, para todos los elementos x y y , la desigualdad x ≤ y conlleva la desigualdad y -1 ≤ x -1 .En otras palabras, podemos volver a una desigualdad cambiando su significado. Para obtener este resultado, basta con multiplicar la desigualdad x ≤ y por y −1 a la izquierda y por x −1 a la derecha.
- En un grupo totalmente ordenado, la conjugación conserva el " signo " ( y > e G ⇔ xyx −1 > e G ), y cada elemento tiene raíces únicas (para cualquier número entero distinto de cero n , x n = y n ⇒ x = y ).
- Cualquier grupo totalmente ordenable está libre de torsión .Lo contrario es cierto si el grupo es abeliano , pero falsa en el caso general: el por ejemplo grupo fundamental de la botella Klein , es decir el grupo con dos generadores de unos y b vinculadas únicamente por aba -1 = b -1 , es resistente a la torsión gratis pero (según el punto anterior) no totalmente ordenable.
- Hölder 's teorema (1902): cualquier totalmente ordenado de Arquímedes grupo es abeliano y se sumerge en (ℝ, +, ≤).
Ver también
Referencias
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T. S. Blyth, celosías y Estructuras Algebraicas Ordenadas , Springer,2005( ISBN 1-85233-905-5 ) , pág. 143.
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(in) Dale Rolfsen, " Grupos ordenados y topología " , en UBC ,2001.