Fórmula de fracción continua de Euler
En la teoría analítica de números , la fórmula de fracción continua de Euler es una identidad que relaciona series con fracciones continuas generalizadas , publicada por Leonhard Euler en 1748 y útil en el estudio del problema de convergencia general para fracciones continuas con coeficientes complejos .
Caso terminado
Euler estableció una identidad cuya transcripción es, en notación de Pringsheim :
αPAG-αβPAGQ+αβγQR-αβγδRS+...=α∣∣PAG+β∣∣(Q-β)/PAG+γ∣∣(R-γPAG)/Q+δ∣∣(S-δQ)/R+⋯,{\ Displaystyle {\ frac {\ alpha} {P}} - {\ frac {\ alpha \ beta} {PQ}} + {\ frac {\ alpha \ beta \ gamma} {QR}} - {\ frac {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} {RS}} + \ ldots = {\ frac {\ alpha \ mid} {\ mid P}} + {\ frac {\ beta \ mid} {\ mid (Q- \ beta) / P}} + {\ frac {\ gamma \ mid} {\ mid (R- \ gamma P) / Q}} + {\ frac {\ delta \ mid} {\ mid (S- \ delta Q) / R }} + \ cdots,}
esta igualdad significa solo que las sumas parciales de la serie de la izquierda son iguales a las reducciones de la fracción continua de la derecha, en otras palabras:
∀no∈NO∗a1k1-∑I=2no∏j=1I(-aj)kI-1kI=a1∣∣k1+a2∣∣(k2-a2)/k1+a3∣∣(k3-a3k1)/k2+⋯+ano∣∣(kno-anokno-2)/kno-1.{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad {\ frac {a_ {1}} {k_ {1}}} - \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {\ prod _ {j = 1} ^ {i} (- a_ {j})} {k_ {i-1} k_ {i}}} = {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid k_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid (k_ {2} -a_ {2}) / k_ {1}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid } {\ mid (k_ {3} -a_ {3} k_ {1}) / k_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid (k_ {n} - a_ {n} k_ {n-2}) / k_ {n-1}}}.}
Simplemente encuentra esta fórmula mediante un análisis retrógrado de las relaciones fundamentales sobre los reductores .
Caso infinito
Por cambio de notaciones y paso al límite , deducimos:
X0y0+∑I=1∞∏j=0IXjyI-1yI=X0∣∣y0-X1∣∣(y1+X1)/y0-X2∣∣(y2+X2y0)/y1-X3∣∣(y3+X3y1)/y2-⋯,{\ Displaystyle {\ frac {x_ {0}} {y_ {0}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ prod _ {j = 0} ^ {i} x_ {j}} {y_ {i-1} y_ {i}}} = {\ frac {x_ {0} \ mid} {\ mid y_ {0}}} - {\ frac {x_ {1} \ mid} {\ mid (y_ {1} + x_ {1}) / y_ {0}}} - {\ frac {x_ {2} \ mid} {\ mid (y_ {2} + x_ {2} y_ {0} ) / y_ {1}}} - {\ frac {x_ {3} \ mid} {\ mid (y_ {3} + x_ {3} y_ {1}) / y_ {2}}} - \ cdots,}
para todos los conjuntos de números complejos hay j distinto de cero yx j cuando la serie a la izquierda converge . Esto permite por tanto, después de haber puesto una serie convergente en la forma adecuada, transformarla en una fracción continua. Además, si los complejos x j e y j son funciones de una variable z y si la convergencia de la serie es uniforme con respecto a z , es naturalmente igual para la convergencia de la fracción continua.
Esta fórmula tiene muchos corolarios , como:
- tomando todas las y j iguales a 1:∑I=0∞∏j=0IXj=X0∣∣1-X1∣∣1+X1-X2∣∣1+X2-X3∣∣1+X3-⋯ ;{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {j = 0} ^ {i} x_ {j} = {\ frac {x_ {0} \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {x_ {1} \ mid} {\ mid 1 + x_ {1}}} - {\ frac {x_ {2} \ mid} {\ mid 1 + x_ {2}}} - {\ frac {x_ {3} \ mid} {\ mid 1 + x_ {3}}} - \ cdots ~;}
- estableciendo x 0 = 1, y 0 = a 0 y para j > 0, x j = a j –1 z y y j = a 0 a 1 … a j :∑I=0∞zIa0a1...aI=1∣∣a0-a0z∣∣a1+z-a1z∣∣a2+z-a2z∣∣a3+z-⋯ ;{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {i}} {a_ {0} a_ {1} \ ldots a_ {i}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid a_ {0}}} - {\ frac {a_ {0} z \ mid} {\ mid a_ {1} + z}} - {\ frac {a_ {1} z \ mid} {\ mid a_ {2} + z}} - {\ frac {a_ {2} z \ mid} {\ mid a_ {3} + z}} - \ cdots ~;}
- configurando x 0 = 1, y 0 = u 0 y para j > 0, x j = u j –1 2 Z y y j = u 0 u 1 … u j :∑I=0∞ZItuI=1∣∣tu0-tu02Z∣∣tu1+tu0Z-tu12Z∣∣tu2+tu1Z-tu22Z∣∣tu3+tu2Z-⋯.{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {Z ^ {i}} {u_ {i}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid u_ {0}} } - {\ frac {u_ {0} ^ {2} Z \ mid} {\ mid u_ {1} + u_ {0} Z}} - {\ frac {u_ {1} ^ {2} Z \ mid} {\ mid u_ {2} + u_ {1} Z}} - {\ frac {u_ {2} ^ {2} Z \ mid} {\ mid u_ {3} + u_ {2} Z}} - \ cdots .}
Ejemplos de
El exponencial complejo es una función entera, por lo que su desarrollo en series enteras converge uniformemente en cualquier parte acotada del plano complejo :
miz=∑I=0∞zII!.{\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {i}} {i!}}.}
Por lo tanto, es lo mismo para la fracción continua (obtenida por el segundo corolario anterior):
miz=1∣∣1-z∣∣1+z-z∣∣2+z-2z∣∣3+z-3z∣∣4+z-4z∣∣5+z-⋯.{\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 1 + z}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 2 + z}} - {\ frac {2z \ mid} {\ mid 3 + z}} - {\ frac {3z \ mid} {\ mid 4 + z}} - {\ frac {4z \ mid} {\ mid 5 + z}} - \ cdots.}
Deducimos por ejemplo:
1mi=mi-1=1∣∣1+1∣∣0+1∣∣1+2∣∣2+3∣∣3+4∣∣4+⋯=1∣∣2+2∣∣2+3∣∣3+4∣∣4+⋯{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ rm {e}}} = {\ rm {e}} ^ {- 1} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac { 1 \ mid} {\ mid 0}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {3 \ mid} { \ mid 3}} + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 4}} + \ cdots = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {2 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {3 \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 4}} + \ cdots}
Entonces
mi=2+2∣∣2+3∣∣3+4∣∣4+⋯=2+1∣∣1+1∣∣2+2∣∣3+3∣∣4+4∣∣5+⋯,{\ Displaystyle {\ rm {e}} = 2 + {\ frac {2 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {3 \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {4 \ mid } {\ mid 4}} + \ cdots = 2 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {2 \ mid } {\ mid 3}} + {\ frac {3 \ mid} {\ mid 4}} + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots,}
la última igualdad resultante de una transformación habitual .
La expansión de la serie entera de la determinación principal del logaritmo complejo aplicado a 1 + z es
Logramo(1+z)=z∑I=0∞(-z)II+1.{\ displaystyle {\ rm {Log}} (1 + z) = z \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {i}} {i + 1}}. }
Converge uniformemente cuando z atraviesa el disco unitario cerrado privado de una vecindad arbitrariamente pequeña de -1. Por lo tanto, es lo mismo para la fracción continua (obtenida por el tercer corolario anterior):
Logramo(1+z)=z∣∣1+12z∣∣2-z+22z∣∣3-2z+32z∣∣4-3z+⋯.{\ Displaystyle {\ rm {Log}} (1 + z) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} z \ mid} {\ mid 2-z }} + {\ frac {2 ^ {2} z \ mid} {\ mid 3-2z}} + {\ frac {3 ^ {2} z \ mid} {\ mid 4-3z}} + \ cdots. }
Deducimos por ejemplo:
Logramo(2)=1∣∣1+12∣∣1+22∣∣1+32∣∣1+⋯.{\ displaystyle {\ rm {Log}} (2) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}
La función artanh se define en ℂ \ (] –∞, –1] ∪ [1, + ∞ [) por
artanoh(z)=12 Logramo(1+z1-z)=12(Logramo(1+z)-Logramo(1-z)).{\ Displaystyle {\ rm {artanh}} (z) = {\ frac {1} {2}} ~ {\ rm {Log}} \ left ({\ frac {1 + z} {1-z}} \ derecha) = {\ frac {1} {2}} ({\ rm {Log}} (1 + z) - {\ rm {Log}} (1-z)).}
Por lo tanto, uniformemente en el disco unitario cerrado privado de una vecindad de ± 1 ,
artanoh(z)=z∑I=0∞(z2)I2I+1{\ Displaystyle {\ rm {artanh}} (z) = z \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(z ^ {2}) ^ {i}} {2i + 1}} }
así también (por el tercer corolario anterior)
artanoh(z)=z∣∣1-z2∣∣3+z2-(3z)2∣∣5+3z2-(5z)2∣∣7+5z2-(7z)2∣∣9+7z2-⋯.{\ Displaystyle {\ rm {artanh}} (z) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3 + z ^ {2 }}} - {\ frac {(3z) ^ {2} \ mid} {\ mid 5 + 3z ^ {2}}} - {\ frac {(5z) ^ {2} \ mid} {\ mid 7+ 5z ^ {2}}} - {\ frac {(7z) ^ {2} \ mid} {\ mid 9 + 7z ^ {2}}} - \ cdots.}
La función arctan (circular) está relacionada con la función artanh (hiperbólica) por
arctan(z)=1IArtanh(Iz).{\ Displaystyle \ arctan (z) = {\ frac {1} {\ rm {i}}} \ operatorname {artanh} ({\ rm {i}} z).}
Por lo tanto, tiene, uniformemente en el disco unitario cerrado privado de una vecindad arbitraria de ± i , un desarrollo análogo en series enteras (encontradas por Madhava luego por Gregory y Leibniz ):
arctan(z)=z∑I=0∞(-z2)I2I+1{\ Displaystyle \ arctan (z) = z \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-z ^ {2}) ^ {i}} {2i + 1}}}
y en fracción continua:
arctan(z)=z∣∣1+z2∣∣3-z2+(3z)2∣∣5-3z2+(5z)2∣∣7-5z2+(7z)2∣∣9-7z2+⋯.{\ Displaystyle \ arctan (z) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3-z ^ {2}}} + { \ frac {(3z) ^ {2} \ mid} {\ mid 5-3z ^ {2}}} + {\ frac {(5z) ^ {2} \ mid} {\ mid 7-5z ^ {2} }} + {\ frac {(7z) ^ {2} \ mid} {\ mid 9-7z ^ {2}}} + \ cdots.}
El desarrollo de la cuna
πcosto(πz)=1z-11-z+11+z-12-z+12+z-13-z+13+z+...,{\ Displaystyle \ pi \ cot (\ pi z) = {\ frac {1} {z}} - {\ frac {1} {1-z}} + {\ frac {1} {1 + z}} - {\ frac {1} {2-z}} + {\ frac {1} {2 + z}} - {\ frac {1} {3-z}} + {\ frac {1} {3 + z} } + \ ldots,}
convergen uniformemente fuera de una vecindad uniforme de ℤ , de manera similar se transforma en
πcosto(πz)=1∣∣z+z2∣∣1-2z+(1-z)2∣∣2z+(1+z)2∣∣1-2z+(2-z)2∣∣2z+(2+z)2∣∣1-2z+⋯,{\ Displaystyle \ pi \ cot (\ pi z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid z}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + { \ frac {(1-z) ^ {2} \ mid} {\ mid 2z}} + {\ frac {(1 + z) ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + {\ frac {(2-z) ^ {2} \ mid} {\ mid 2z}} + {\ frac {(2 + z) ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + \ cdots,}
de donde
broncearse(πz)πz=1+z∣∣1-2z+(1-z)2∣∣2z+(1+z)2∣∣1-2z+(2-z)2∣∣2z+(2+z)2∣∣1-2z+⋯.{\ Displaystyle {\ frac {\ tan (\ pi z)} {\ pi z}} = 1 + {\ frac {z \ mid} {\ mid 1-2z}} + {\ frac {(1-z) ^ {2} \ mid} {\ mid 2z}} + {\ frac {(1 + z) ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + {\ frac {(2-z) ^ { 2} \ mid} {\ mid 2z}} + {\ frac {(2 + z) ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + \ cdots.}
Series análogas para π 2 / sin 2 (π z ) , πtan (π z / 2) , π / sin (π z ) y π / cos (π z ) se transforman de manera similar en fracciones continuas.
Los desarrollos anteriores de arctan , artanh , cot o tan (los dos últimos requieren una normalización para encontrar coeficientes enteros) se unen al hecho de que π ⁄ 4 = artan (1) = (1 / i) artanh (i) o cot (π / 4) = tan (π / 4) = 1 , da la fracción continua generalizada encontrada por William Brouncker en 1655:
π=4∣∣1+12∣∣2+32∣∣2+52∣∣2+72∣∣2+⋯.{\ Displaystyle \ pi = {\ frac {4 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {5 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {7 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots. }
Notas y referencias
-
(La) L. Euler, Introductio in analysin infinitorum , 1748, vol. Yo, cap. 18, § 365-366, pág. 298-299 ( pág. 25 del archivo [PDF] ).
(de) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner,1913( leer en línea ) , "§ 45: Äquivalenz von Kettenbrüchen und Reihen" , p. 205-211
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