Formación de clases

En matemáticas, una formación de clase es una estructura utilizada para organizar los diversos grupos y módulos de Galois que aparecen en la teoría del cuerpo de clase . Fueron inventados por Emil Artin y John Tate .

Más precisamente, son los datos de un grupo, actuando sobre un cierto módulo, el conjunto verificando un determinado axiomático , expresado principalmente desde un punto de vista cohomológico . El objetivo de esta noción es axiomatizar la teoría de campos de clase , independientemente de los diversos contextos en los que queramos obtener sus enunciados: campo finito o infinito, global o local, con características nulas o positivas. El grupo considerado es entonces el grupo de Galois absoluto del campo considerado, y el módulo es el grupo multiplicativo del cierre separable de este mismo campo.

Definiciones

Capacitación

Los datos de un grupo de Galois absoluto de un campo local, de sus subgrupos de índice finito, y de la acción de este grupo sobre el grupo multiplicativo del cierre separable del campo considerado (el cierre algebraico en el caso de un campo de p -números ádicos , ya que el hecho de estar en la característica 0 asegura la separabilidad), es el ejemplo clásico de formación, a partir del cual se construyó el axiomático. En el siguiente párrafo, la interpretación en este ejemplo de las diversas propiedades requeridas se indica entre paréntesis.

Una formación es un grupo topológico G con G -módulo (en) topológica A . El grupo G está dotado de una familia de subgrupos de índices finitos (destinados a corresponder a las extensiones finitas separables del campo considerado a través de la correspondencia de Galois), que se supone estable por intersección finita (una extensión finita compositum de extensiones finitas es una extensión finita), que cualquier subgrupo que contenga un elemento de la familia está en la familia (cualquier sub-extensión de una extensión finita es finita), y que es globalmente estable por conjugación por elementos de G (la imagen por la acción de un elemento del grupo absoluto de Galois de una extensión finita, no necesariamente Galois, es nuevamente una extensión finita).

Luego nos damos un módulo G A , y estipulamos la siguiente condición sobre la acción de G sobre A : para cualquier punto a de A , el conjunto de transformaciones de G que dejan un fijo es un elemento de la familia de subgrupos que hemos fijado (la extensión generada por un elemento es una extensión finita).

El dato de G , de la familia de subgrupos y del módulo A , verificando estas condiciones se denomina “formación”.

Piso y extensión

Un piso F / E de una formación es un par de subgrupos abierto E , F tal que F es un subgrupo de E . Aún con el ánimo de imitar la situación de nuestro ejemplo fundamental, nos permitiremos hablar de extensión ; en este sentido, nótese que si bien F está incluido en E como subgrupo, decimos que como extensión, F está por el contrario por encima de E , con el fin de recuperar la disminución de la correspondencia de Galois. Una extensión se llama una extensión normal o extensión de Galois si F es un subgrupo normal de E , y una extensión cíclica si además, el grupo del cociente es cíclico. El grado de extensión será cardenal grupo cociente E / F . Si E es un subgrupo de G , entonces A E se define como los elementos de A fijados por E . Escribimos

H n ( F / E )

para el grupo de cohomología de Tate (en) H n ( F / E , A F ) siempre que F / E sea una extensión normal. En las aplicaciones, G suele ser el grupo de Galois absoluto, y en particular es profini , y por tanto, los subgrupos abiertos corresponden a extensiones finitas del campo contenido en algún recinto separable.

Formación de clases

Para hablar de formación de clases, imponemos las siguientes condiciones: para cualquier extensión de Galois, lo cual es cierto en nuestro ejemplo fundamental por el Teorema 90 de Hilbert , por un lado; si solo imponemos esta condición, a veces hablaremos de formación corporal . Por otro lado, asumimos la existencia para cada extensión abeliana F / E de un morfismo grupal : ${\ Displaystyle H ^ {1} (Gal (F / E), A_ {F}) = 0}$

{\ displaystyle inv_ {E}: H ^ {2} (Gal (F / E), A_ {F}) \ rightarrow \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}

inyectivo, con valores en el subgrupo único de orden [ F : E ] del grupo de llegada. Cada grupo H 2 ( F / E ) es entonces un grupo cíclico de orden [ F : E ]. El antecedente del generador canónico 1 / [ F : E ] de Q / Z se denomina clase fundamental y se denota u F / E : es un generador de . Finalmente, pedimos que se verifique la propiedad functorial: ${\ Displaystyle H ^ {2} (Gal (F / E), A_ {F})}$

{\ displaystyle inv_ {E '} \ circ Res_ {E / E'} = [E ': E] inv_ {E}}

para cualquier extensión finita E ' / E , donde Res es el mapa de restricción que aparece en la cohomología de Galois ; esto permite afirmar que la restricción de una clase fundamental sigue siendo una clase fundamental.

En el ejemplo clásico, este morfismo se construye considerando el grupo H 2 como un grupo de Brauer .

Ejemplos de formación en clase

Los ejemplos más importantes de formación de clases (enumerados aproximadamente en orden de dificultad) son:

Teoría de campo de clase de Arquímedes : el módulo A es el grupo de números complejos distintos de cero, y G es trivial o el grupo cíclico de orden 2 generado por la conjugación compleja.
Campos finitos: El módulo A son los números enteros (con acción G trivial), y G es el grupo de Galois absoluto de un campo finito, que es isomorfo a la compleción profina de números enteros.
Teoría de campos de clases locales con característica p > 0: El módulo A es un cierre algebraico separable del campo de la serie formal de Laurent sobre un campo finito, y G es el grupo de Galois.
Teoría de campo de clase no arquimediana de la característica 0: El módulo A es el cierre algebraico de un campo de números p-ádicos , y G es un grupo de Galois.
Teoría global del cuerpo de clases de la característica p > 0: El módulo A es la unión de los grupos de clases ideélicas de extensiones finitas separables de un cierto campo de funciones sobre un campo finito, y G es el grupo de Galois.
Teoría-campo de clase mundial de característica 0: El módulo A es la unión de los grupos de clase Idelic de campos de números algebraicos, y G es el grupo de Galois absoluto del campo de número racional (o de un número determinado campo algebraica) que actúa sobre A .

Es fácil verificar la propiedad de la formación de clases para el caso de campo finito y para el caso del cuerpo local de Arquímedes, pero los casos restantes son más difíciles. La mayor parte del difícil trabajo de la teoría del cuerpo de clases consiste en demostrar que se trata de formaciones de clases. Esto se realiza en varios pasos, como se describe en los siguientes párrafos.

La aplicación de la reciprocidad

Sea u F / E la imagen recíproca de 1 / [ F : E ] por el mapa inv E , es decir una clase fundamental. La copa producida por u F / E define entonces un isomorfismo entre y ; esto es una consecuencia del teorema de la dualidad cohomológica de Tate y Nakayama (de) . Sin embargo, este primer grupo identifica el más grande de cociente abeliano de Gal ( F / E ), y el grupo terminal A E / N F / E A F . Este isomorfismo se llama isomorfismo de reciprocidad: es el isomorfismo de campos de clase. ${\ Displaystyle H ^ {- 2} (Gal (F / E), \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle H ^ {0} (Gal (F / E), A_ {F})}$

En el caso de nuestro ejemplo, encontramos el isomorfismo de la teoría del campo de clases local .

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Formación de clases " ( consulte la lista de autores ) .
Jean-Pierre Serre , Cuerpo local [ detalle de ediciones ]