Movimiento de fuerza central

En la mecánica de puntos , un movimiento con una fuerza central es el movimiento de un punto material $M$ sometido únicamente a una fuerza central , es decir, una fuerza siempre dirigida hacia el mismo punto anotado $O$ llamado centro de fuerza .

Este tipo de movimiento es un modelo de ciertos fenómenos físicos: no está estrictamente presente en la naturaleza, pero ciertos movimientos le son similares. Por ejemplo, podemos considerar que la Tierra está sujeta a una fuerza central del sol . Además, cuando utilizamos una descripción clásica del átomo , podemos considerar que el movimiento de los electrones tiene lugar en una fuerza central alrededor del núcleo .

El estudio matemático de este tipo de movimiento nos permite obtener algunos resultados generales. Podemos mostrar, por ejemplo, que la trayectoria está contenida en un plano, que la velocidad de área es constante, etc.

Histórico

El problema del movimiento de la fuerza central fue resuelto por primera vez por Isaac Newton en 1687 . Newton demuestra en particular que la trayectoria está contenida en un plano que pasa por el centro de fuerza y es perpendicular al momento angular , que entonces es constante. También es inicialmente en la dirección opuesta en la que Newton lo demostró: el momento angular se muestra constante, esto implica que la trayectoria es plana. Esta trayectoria se describe de acuerdo con la segunda ley de Kepler, también conocida como leyes de áreas : áreas iguales se escanean en tiempos iguales .

Robert Hooke resolvió el caso particular conocido como “Hooke's”, donde la fuerza central es proporcional a la distancia que separa el centro de fuerza del punto en movimiento (ver elipse de Hooke ).

Jacques Binet expresó, a través de sus fórmulas , la velocidad y la aceleración de un punto animado por un movimiento de fuerza central. Estas fórmulas permiten, por ejemplo, obtener las trayectorias elípticas de los planetas, refutando así la primera ley de Kepler .

Ejemplos de estudios

Algunos casos especiales se han estudiado matemáticamente:

el caso de una fuerza restauradora elástica: ver la elipse de Hooke ,
los casos de fuerzas proporcional a $r p$ para $p$ igual a -5, -3, 0, 1/3, 3/2, 5/3, 7/3, 5/2, 4, 5 o 7 se dice que son resolubles .
el movimiento de los planetas: ver las leyes de Kepler ,
La dispersión de Rutherford se puede tratar mediante la simetría Corinne .

Definición

Un movimiento de fuerza central es el movimiento de un punto material sometido a una fuerza que pasa a través de un punto fijo . $\ scriptstyle {{\ vec F}}$ $\ scriptstyle O$

La trayectoria es plana (ver más abajo): dos coordenadas son suficientes para describir el movimiento en este plano. La conservación de la energía permite reducir el movimiento a una cuadratura.

Planitud de la trayectoria

El teorema del momento angular aplicado al centro de fuerza $O$ en un marco de referencia de Galileo establece que la derivada del momento angular en el punto $O$ es el producto cruzado del vector radio y la fuerza :, ya que los dos vectores son colineales. ${\ vec L}$ ${\ Displaystyle {\ vec {O}} M}$ $\ vec F$ ${\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {L}}} {dt}} = {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {F}} = {\ vec {0}}}$

Por tanto, el momento angular es constante durante el movimiento.

Por definición del momento angular, esto significa que es constante, por lo que el vector de posición y el momento del punto M son en todo momento perpendiculares al vector de dirección constante. La trayectoria es, por tanto, plana : está totalmente contenida en el plano que contiene el centro de atracción $O$ , y es ortogonal al momento angular . ${\ Displaystyle {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {p}} = {\ vec {L}}}$ ${\ vec {OM}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {p}} = m \ cdot {\ vec {v}}}$ ${\ vec L}$ ${\ vec L}$

Ley de áreas

Acabamos de ver que la trayectoria de la partícula permanece en un plano fijo de origen $O$ . Pasando a las coordenadas polares $r$ y $θ$ , en este plano, podemos escribir

${\ Displaystyle {\ vec {OM}} = {\ vec {r}} = r {\ vec {e_ {r}}}}$ ,
por lo tanto , ¿dónde está el vector unitario tal que sea un sistema de coordenadas ortonormal directo? ${\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ dot {r}} {\ vec {e_ {r}}} + r {\ punto {\ theta}} {\ vec {e _ {\ theta}}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}$ ${\ Displaystyle (M, {\ vec {e_ {r}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}})}$
entonces ,, en el cual es el vector unitario ortogonal a la trayectoria tal que es un sistema de coordenadas ortonormal directo. ${\ Displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ wedge m {\ vec {v}} = mr {\ dot {r}} {\ vec {e_ {r}}} \ wedge { \ vec {e_ {r}}} + mr ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {r}}} \ wedge {\ vec {e _ {\ theta}}} = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {z}}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {z} = {\ vec {e_ {r}}} \ wedge {\ vec {e _ {\ theta}}}}$ ${\ Displaystyle (M, {\ vec {e_ {r}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}}, {\ vec {e_ {z}}})}$

En esta última relación, el valor de la llama norma constante impulso angular: . Ahora, el área barrida por el rayo vectorial , durante un tiempo infinitesimal $dt$ es . ${\ Displaystyle L = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}}$ $\ vec {r}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} r ^ {2} {\ dot {\ theta}} dt = {\ frac {L} {2m}} dt = {\ frac {C} {2}} dt}$

Esta ley, en la forma que expresa que la velocidad del área es constante, se llama ley de áreas . Enunciado como una observación empírica en 1609 por Johannes Kepler sobre el tema del movimiento de los planetas alrededor del Sol (véanse las leyes de Kepler ), es en realidad una propiedad general de todo movimiento con una fuerza central. ${\ Displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = C}$

Ecuación de Kepler

La ley de áreas implica en particular que se mantenga un signo constante, es decir, que el punto material gira siempre en la misma dirección. En particular, $θ$ $=$ $f$ $($ $t$ $)$ es una función estrictamente monótona del tiempo. Por tanto, existe una función inversa $t$ $=$ $f$ $-1$ $($ $θ$ $)$ . Es decir, es posible determinar el tiempo que tarda el sólido en girar en un ángulo determinado alrededor del punto central. Realizar esta inversión fue obra de Legendre , luego Cauchy ( resolución de la ecuación de Kepler ). ${\ dot \ theta}$

Aceleración en coordenadas polares

En coordenadas polares la aceleración tiene por expresión:

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = ({\ ddot {r}} - r {\ punto {\ theta}} ^ {2}) {\ vec {e_ {r}}} + \ left (r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta} } \ right) {\ vec {e _ {\ theta}}}}$

donde y forman una base giratoria, es decir y y donde y forman una base ortonormal cartesiana fija del plano de la trayectoria. ${\ vec {e_ {r}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {e_ {r}}} \ triangleq \ cos \ theta {\ vec {e_ {x}}} + \ sin \ theta {\ vec {e_ {y}}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}} \ triangleq - \ sin \ theta {\ vec {e_ {x}}} + \ cos \ theta {\ vec {e_ {y}}}}$ ${\ vec {e_ {x}}}$ ${\ vec {e_ {y}}}$

Debido a que la aceleración es radial, la proyección de on es cero, por lo tanto tenemos . Al señalar que , y por lo tanto , concluimos que el parámetro es de hecho constante, lo que justifica su designación de área constante . ${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ vec {r}}} {{\ mathrm {d}} t ^ {2}}}$ ${\ vec {vb}}$ $r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} = 0$ ${\ frac {{\ mathrm {d}} r ^ {2} {\ dot {\ theta}}} {{\ mathrm {d}} t}} = r \ cdot \ left (r {\ ddot {\ theta }} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} \ right)$ ${\ frac {{\ mathrm {d}} r ^ {2} {\ dot {\ theta}}} {{\ mathrm {d}} t}} = 0$ $r ^ {2} {\ dot {\ theta}}$

Expresión de energía cinética, efecto centrífugo.

La energía cinética del punto material M se descompone en dos términos (Leibniz, 1695):

E_ {c} = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {{2}} + {\ frac {L ^ {{2}}} {2mr ^ {{2}} }}

el primero es el de una partícula de masa m que realiza un movimiento unidimensional (en la dirección de r),
el segundo es análogo a una energía potencial repulsiva de Coulomb que actúa como fuerza centrífuga .

Energía potencial efectiva

Según la ley de conservación de la energía , la energía total $E = E c + V$ es una constante. Teniendo en cuenta la expresión anterior para la energía cinética , esta energía total se expresa en la forma:

{\ Displaystyle E = {\ frac {1} {2}} metro {\ dot {r}} ^ {2} + U _ {\ textrm {eff}} (r) \ quad}

donde se llama energía potencial efectiva .

{\ Displaystyle \ quad U _ {\ textrm {eff}} (r) = V (r) + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}

Por tanto, el fenómeno es análogo a un movimiento unidimensional de una partícula ficticia de masa m en un potencial $U eff ( r )$ . Este potencial revela, además de V , el efecto centrífugo introducido anteriormente. Esto, por tanto, corresponde a una competencia entre dos fuerzas: por ejemplo, en el caso del movimiento de un planeta, existe una competencia entre la atracción hacia el sol y el efecto centrífugo.

Caso de un campo atractivo

En el caso de un campo atractivo , el potencial efectivo $U eff ( r )$ presenta un pozo de potencial : es fuertemente repelente a corta distancia según la "barrera centrífuga", y atractivo a larga distancia. Y dado que $r 2$ es siempre positivo, necesariamente tenemos la siguiente desigualdad:

{\ Displaystyle E \ geq U _ {\ min}}

donde $U min$ es el valor mínimo tomado por el potencial efectivo (a la distancia $r m$ ).

El movimiento es entonces diferente según los valores de $E m$ .

Sí , el cuerpo puede alejarse ad infinitum ( movimiento ilimitado ). $E \ geq 0$
Si , el movimiento está limitado entre las posiciones $r$ $min$ y $r$ $max$ . El movimiento radial (a lo largo de r ) es entonces periódico : exhibe una oscilación entre $r$ $min$ y $r$ $max$ . ${\ Displaystyle U _ {\ min} <E \ leq 0}$
Si , la trayectoria es circular con radio $r$ $m$ cualquiera que sea $V$ $($ $r$ $)$ . ${\ Displaystyle E = U _ {\ min}}$
Sí , el movimiento es imposible. De hecho, en el caso del campo atractor de Coulomb, esta situación correspondería a una energía mecánica inicial insuficiente para "orbitar" la partícula. ${\ Displaystyle E <U _ {\ min}}$

Expresiones generales de las ecuaciones polares y horarias

El movimiento con un conservador fuerza central tiene, en el plano, dos grados de libertad : las coordenadas r y $θ$ en el plano de movimiento. Además, hay dos constantes de movimiento: momento angular y energía mecánica . Se dice que el problema se puede resolver hasta una cuadratura. ${\ vec {L _ {{O}}}}$ $mi$

La solución se puede escribir mediante una ecuación horaria ( r ( t )) o mediante una ecuación polar ( r ( θ )). De hecho, la ley de áreas vista arriba muestra que es posible intercambiar t y θ . Estudiamos brevemente estas dos posibilidades:

Al expresar la conservación de la energía, se obtiene una ecuación diferencial de Newton que tiene como solución:

{\ Displaystyle t-t_ {0} = \ int _ {r \ left (t_ {0} \ right)} ^ {r} {\ frac {dr '} {\ sqrt {{\ frac {2} {m} } \ left (E_ {m} -U _ {\ textrm {eff}} \ left (r '\ right) \ right)}}} \,}

. Por inversión, es posible obtener la forma analítica de r ( t ). Luego, podemos usar este valor para calcular θ ( t ) gracias a la constante de área. Finalmente, las leyes horarias r ( t ) y θ ( t ) dan la ecuación paramétrica de la trayectoria en coordenadas polares .

Si solo buscamos la trayectoria , y no la evolución del movimiento en el tiempo, podemos eliminar el tiempo t y reemplazarlo por θ usando la ley de áreas. Luego se obtiene otra ecuación diferencial de Newton que también se puede encontrar la solución:

\ theta - \ theta _ {{0}} = \ int _ {{r \ left (\ theta _ {{0}} \ right)}} ^ {{r}} {{\ frac {Cdr '} {r '^ {{2}} {\ sqrt {{{\ frac {2} {m}} \ left (E _ {{m}} - U _ {{eff}} \ left (r' \ right) \ right )}}}}}

. Obtenemos así la ecuación polar r ( θ ), es decir la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares .

Estas expresiones integrales pueden o no tener solución. Finalmente, en determinados casos, en particular el del problema de dos cuerpos , se pueden utilizar técnicas de resolución más sencillas que la de la evaluación explícita de la integral.

Posibilidades de órbitas cerradas

En el caso de un movimiento acotado, el movimiento radial ( r ( t )) es periódico, con período T r . Según el párrafo anterior, la ecuación horaria da la siguiente expresión:

{\ Displaystyle T_ {r} = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {dr} {\ sqrt {{\ frac {2} {m}} \ izquierda (E_ {m} -U_ {eff} \ izquierda (r \ derecha) \ derecha)}}} \,}

donde $r min$ y $r max$ son los radios accesibles mínimo y máximo.

Esto no significa que el movimiento global sea periódico, por lo tanto, la trayectoria es una curva cerrada . De hecho, sería necesario para esto que después de un número entero n de períodos radiales T r , el ángulo θ haya realizado un número entero p de vueltas completas. También se dice que el período angular T ang debe ser conmensurable con el período radial T r .

Sin embargo, la variación del ángulo polar θ durante el período radial T r se expresa por: $\ Delta \ theta$

{\ Displaystyle \ Delta \ theta = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {C \, dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ frac {2} {m}} \ left (E_ {m} -U_ {eff} (r) \ right)}}}}}

Según lo que precede, la trayectoria se cerrará, para todas las condiciones iniciales, si y solo si se tiene . Esto solo se verifica, para campos conservadores , por dos tipos de fuerzas centrales: la fuerza en 1 / r 2 (de tipo newtoniano) y la fuerza de Hooke (-kr): (este resultado constituye el teorema de Bertrand ). $\ Delta \ theta = 2 \ pi {\ frac {p} {n}}$

Observaciones técnicas

La existencia de trayectorias cerradas está asociada a la simetría , que se manifiesta en la existencia de una constante adicional de movimiento. Por ejemplo, para el campo de Coulomb, es el vector de Runge-Lenz .
En la mecánica cuántica , los campos que presentan clásicamente órbitas cerradas exhiben una degeneración accidental de sus niveles de energía . Por ejemplo, para el campo de Coulomb, mientras que la teoría general predice los niveles E n, l , obtenemos los niveles E n dependiendo solo de un único número cuántico. El origen es una simetría adicional del campo de Coulomb con respecto a las rotaciones del espacio de 4 dimensiones (grupo O (4)).
Deje P la proyección de W a lo largo de la tangente a la trayectoria de M . La trayectoria de P se llama pedal de O. La inversa del pedal da, hasta una rotación, lo que se llama hodógrafa . Por el contrario, el antipodaire de la inversa del pedal restaura la trayectoria. Así, la órbita del espacio de fases, cuya proyección sobre ( O , x , y ) es la trayectoria y cuya proyección sobre el espacio de velocidades ( O , Vx , Vy ) es la hodógrafa, es por tanto muy peculiar. Newton prestó especial atención a los pods y los antipodarios. En ese momento, era bien sabido que la inversa de un círculo era un círculo y el antipodario de un círculo una elipse. Por tanto, la trayectoria elíptica de Kepler correspondía a una hodógrafa circular. De alguna manera, las leyes de Kepler se han demostrado a través de esta hodógrafa circular. Varios científicos podrían estar en el origen de este descubrimiento: Newton en sus borradores perdidos, como se afirmó en agosto de 1684 a Halley , Hermann ( 1678 - 1733 ), cuya manifestación que vemos en la tercera edición de los Principia , etc. Decir que la hodógrafa es circular es decir que existe el vector de Runge-Lenz .

Notas y referencias

Newton, Principios matemáticos de la filosofía natural , Libro I, Sección II, Prop. I, p.49 en la traducción de Mme du Châtelet
Fundamentalmente, el hecho de que el momento angular sea constante proviene de que el problema es invariante bajo la acción de una rotación alrededor de $O$ y que podemos aplicar el teorema de Noether al grupo SO (3).
Esto excluye cualquier potencial atractivo que no tiende a una constante hasta el infinito.
ver Landau y Lifshitz, Física Teórica T1: Mecánica , 5 ª edición francesa, elipses de Marketing-1994.
Entonces tenemos degeneración del movimiento, ver Landau, op. cit. , párrafo 52.
Ver Landau y Lifchitz, Theoretical Physics T3: Quantum Mechanics , Mir, Moscú, 1988.

Ver también