Función H de Chandrasekhar
La función de Chandrasekhar H se utiliza para la resolución del problema de la transferencia radiativa unidimensional en un medio absorbente y difusor . Está definido por una ecuación integral establecida por Viktor Ambartsumian y Subrahmanyan Chandrasekhar .
Definición
La función introducida por Subrahmanyan Chandrasekhar generalmente se define por la ecuación integral establecida por Viktor Ambartsumian
H(μ)=1+μH(μ)∫01Ψ(μ′)μ+μ′H(μ′)Dμ′{\ Displaystyle H (\ mu) = 1 + \ mu H (\ mu) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ Psi (\ mu ')} {\ mu + \ mu'}} H (\ mu ') \, d \ mu'}donde es una función característica que describe la difusión en el medio. Es un polinomio par satisfactorio
Ψ(μ){\ Displaystyle \ Psi (\ mu)}
∫01Ψ(μ)Dμ≤12{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ leq {\ frac {1} {2}}}Se dice que el caso correspondiente al límite superior es conservador (conserva la densidad del flujo de energía).
La isotropía corresponde a
2Ψ=ω0{\ Displaystyle 2 \ Psi = \ omega _ {0}}donde está el albedo , constante. corresponde al caso de difusión pura.
0≤ω0≤1{\ Displaystyle 0 \ leq \ omega _ {0} \ leq 1}ω0=1{\ Displaystyle \ omega _ {0} = 1}
Se escribe una definición equivalente que ya no se usa para la evaluación numérica.
1H(μ)=[1-2∫01Ψ(μ)Dμ]1/2+∫01μ′Ψ(μ′)μ+μ′H(μ′)Dμ′{\ Displaystyle {\ frac {1} {H (\ mu)}} = \ left [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ right] ^ { 1/2} + \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mu '\ Psi (\ mu')} {\ mu + \ mu '}} H (\ mu') \, d \ mu '}En el caso conservador, se cancela el primer término de la ecuación anterior.
Propiedades
- ∫01H(μ)Ψ(μ)Dμ=1-[1-2∫01Ψ(μ)Dμ]1/2{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \, d \ mu = 1- \ left [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ right] ^ {1/2}}
En el caso conservador, esta ecuación se reduce a
∫01Ψ(μ)Dμ=12{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) d \ mu = {\ frac {1} {2}}}
- [1-2∫01Ψ(μ)Dμ]1/2∫01H(μ)Ψ(μ)μ2Dμ+12[∫01H(μ)Ψ(μ)μDμ]2=∫01Ψ(μ)μ2Dμ{\ Displaystyle \ left [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ right] ^ {1/2} \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ mu ^ {2} \, d \ mu + {\ frac {1} {2}} \ left [\ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ mu \, d \ mu \ right] ^ {2} = \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \ mu ^ {2} \, d \ mu}
En el caso conservador, esta ecuación se reduce a
∫01H(μ)Ψ(μ)μDμ=[2∫01Ψ(μ)μ2Dμ]1/2{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ mu d \ mu = \ left [2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \ mu ^ {2} d \ mu \ right] ^ {1/2}}.
- Para una función característica correspondiente a la difusión de Thomson o Rayleigh donde dos constantes satisfacen y si definimos el momento del orden para entoncesΨ(μ)=a+Bμ2{\ Displaystyle \ Psi (\ mu) = a + b \ mu ^ {2}}a,B{\ Displaystyle a, b}a+B/3≤1/2{\ Displaystyle a + b / 3 \ leq 1/2}no{\ Displaystyle n}METROno=∫01H(μ)μnoDμ, no≥0{\ Displaystyle M_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ mu ^ {n} \, d \ mu, \ n \ geq 0}
METRO0=1+12(aMETRO02+BMETRO12){\ Displaystyle M_ {0} = 1 + {\ frac {1} {2}} (aM_ {0} ^ {2} + bM_ {1} ^ {2})}y
(a+Bμ2)∫01H(μ′)μ+μ′Dμ′=H(μ)-1μH(μ)-B(METRO1-μMETRO0){\ Displaystyle (a + b \ mu ^ {2}) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {H (\ mu ')} {\ mu + \ mu'}} \, d \ mu ' = {\ frac {H (\ mu) -1} {\ mu H (\ mu)}} - b (M_ {1} - \ mu M_ {0})}Solución en el plano complejo
Usando la variable compleja se escribe la ecuación de definición de H
z{\ Displaystyle z}
H(z)=1-∫01zz+μH(μ)Ψ(μ)Dμ,∫01|Ψ(μ)|Dμ≤12,limδ→0∫0δ|Ψ(μ)|Dμ=0{\ Displaystyle H (z) = 1- \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {z} {z + \ mu}} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \, d \ mu, \ quad \ int _ {0} ^ {1} | \ Psi (\ mu) | \, d \ mu \ leq {\ frac {1} {2}}, \ quad \ lim \ limits _ {\ delta \ to 0} \ int _ {0} ^ {\ delta} | \ Psi (\ mu) | \, d \ mu = 0}En el plan, la solución es
ℜ(z)>0{\ Displaystyle \ Re (z)> 0}
enH(z)=12πI∫-I∞+I∞enT(w)zw2-z2Dw{\ Displaystyle \ ln H (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {- i \ infty} ^ {+ i \ infty} \ ln T (w) {\ frac {z } {w ^ {2} -z ^ {2}}} \, dw}donde la parte imaginaria de desaparece si es real, es decir, si . Entonces tenemos
T(z){\ Displaystyle T (z)}z2{\ Displaystyle z ^ {2}}z2=tu+Iv≡tu{\ Displaystyle z ^ {2} = u + iv \ equiv u}
T(z)=1-2∫01Ψ(μ)Dμ-2∫01μ2Ψ(μ)tu-μ2Dμ{\ Displaystyle T (z) = 1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu -2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mu ^ {2} \ Psi (\ mu)} {u- \ mu ^ {2}}} \, d \ mu}En el caso conservador, la solución es única. De lo contrario admite las raíces . Por tanto, hay una solución dada por
0≤z≤1{\ Displaystyle 0 \ leq z \ leq 1}T(z)=0{\ Displaystyle T (z) = 0}±1k{\ Displaystyle \ pm {\ frac {1} {k}}}
H1(z)=H(z)1+kz1-kz{\ Displaystyle H_ {1} (z) = H (z) {\ frac {1 + kz} {1-kz}}}Aproximación
El siguiente desarrollo es particularmente conocido porque es la base del método SN
H(μ)=1μ1⋯μno∏I=0no(μ+μI)∏α(1+kαμ){\ Displaystyle H (\ mu) = {\ frac {1} {\ mu _ {1} \ cdots \ mu _ {n}}} {\ frac {\ prod _ {i = 0} ^ {n} (\ mu + \ mu _ {i})} {\ prod _ {\ alpha} (1 + k _ {\ alpha} \ mu)}}}donde son las raíces de los polinomios de Legendre y las soluciones estrictamente positivas de la ecuación característicaμI{\ Displaystyle \ mu _ {i}} PAG2no{\ Displaystyle P_ {2n}}kα{\ Displaystyle k _ {\ alpha}}
2∑j=1noajΨ(μj)1-k2μj2{\ Displaystyle 2 \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {a_ {j} \ Psi (\ mu _ {j})} {1-k ^ {2} \ mu _ {j} ^ {2}}}}El son los pesos de cuadratura dadas por
aj{\ Displaystyle a_ {j}}
aj=1PAG2no′(μj)∫-11PAG2no(μj)μ-μjDμj{\ Displaystyle a_ {j} = {\ frac {1} {P_ {2n} '(\ mu _ {j})}} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P_ {2n} ( \ mu _ {j})} {\ mu - \ mu _ {j}}} \, d \ mu _ {j}}En general, existen varios métodos para el cálculo numérico de funciones H.
Referencias
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(en) Subrahmanyan Chandrasekhar , Transferencia radiativa , Publicaciones de Dover ,1960( ISBN 0486-6059-06 , leer en línea )
-
Rabindra Nath Das y Rasajit Kumar Bera, " Evaluación numérica de la función H de Chandrasekhar, su primer y segundo coeficientes diferenciales, su polo y momentos de la nueva forma de atmósfera de dispersión paralela plana en transferencia radiativa " , en ArXiv
-
(in) PB Bosma y WA de Rooij, " Métodos eficientes para calcular las funciones H de Chandrasekhar " , Astronomía y astrofísica , vol. 126,1983, p. 283-292 ( leer en línea )
Ver también
enlaces externos
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