Ecuación integral

Una ecuación integral es una ecuación de la cual uno de los indeterminados es integral . Son importantes en varias áreas físicas . Las ecuaciones de Maxwell son probablemente sus representantes más famosos. Aparecen en problemas de transferencias de energía radiativa y problemas de oscilaciones de una cuerda, una membrana o un eje. Los problemas de oscilación también se pueden resolver mediante ecuaciones diferenciales .

Ejemplos de

Ecuación de Fredholm del primer tipo

Una de las ecuaciones integrales más simples es la ecuación integral de Fredholm del primer tipo:

{\ Displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t.}

La notación es la de Arfken y Weber. Aquí está la función desconocida, f es una función conocida y K es otra función conocida de dos variables, a menudo llamada el núcleo del operador integral . Los límites de integración son constantes. Ésta es la característica principal de una ecuación de Fredholm. $\ phi \,$

Ecuación de Fredholm del segundo tipo

Si la función desconocida ocurre tanto dentro como fuera de la integral, entonces esta es la ecuación integral de Fredholm del segundo tipo:

{\ Displaystyle \ phi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t. }

El parámetro λ es un factor desconocido, que juega el mismo papel que el valor propio en el álgebra lineal .

Ecuación de Volterra del primer y segundo tipo

Si uno de los límites de integración es variable, es una ecuación integral de Volterra . Las ecuaciones de Volterra del primer y segundo tipo son de la forma:

{\ Displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t,}

{\ Displaystyle \ phi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x, t) \, \ phi (t) \, {\ rm {d}} t. }

Caracteristicas

Si la función conocida f es idénticamente cero, la ecuación integral se denomina “ecuación integral homogénea”. Si es diferente de cero, se denomina "ecuación integral no homogénea".

Estas ecuaciones se clasifican según tres dicotomías:

Límites de integración
- ambos arreglados: ecuación de Fredholm
- una variable: la ecuación de Volterra
Lugar de la función desconocida
- solo dentro de la integral: primer tipo
- dentro y fuera de la integral: segundo tipo
Naturaleza de la función conocida f
- idénticamente cero: homogéneo
- diferente de cero: no homogéneo

Referencias

George Arfken y Hans Weber, Métodos matemáticos para físicos , Harcourt / Academic Press, 2000.
Andrei D. Polyanin y Alexander V. Manzhirov, Manual de ecuaciones integrales , CRC Press, Boca Raton, 1998. ( ISBN 0-8493-2876-4 ) .
ET Whittaker y GN Watson, Un curso de análisis moderno , Biblioteca matemática de Cambridge ( ISBN 0-521-58807-3 ) .

enlaces externos

(en) Ecuaciones integrales : Soluciones exactas en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
(en) Ecuaciones integrales: Índice de EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
(es) Ecuaciones integrales con exampleproblems.com