Conjunto de club

En la teoría de conjuntos , una parte de un ordinal límite se llama club (del inglés cerrado unbounded ) si está cerrado para la topología del orden y no acotado . Los palos son objetos combinatorios importantes en la teoría de conjuntos.

Definiciones y ejemplos

O un ordinal límite y una parte de . Decimos que es parte de un club , o de nuevo es un club , o simplemente es un club si no hay ambigüedad, si se cumplen las dos condiciones siguientes: α{\ Displaystyle \ alpha}VS{\ Displaystyle C}α{\ Displaystyle \ alpha}VS{\ Displaystyle C}α{\ Displaystyle \ alpha} α{\ Displaystyle \ alpha}

• VS{\ Displaystyle C}está cerrado para la topología de la orden en , es decir, para todo , si , entonces . En otras palabras: si podemos acercarnos desde abajo a un ordinal por elementos de , entonces está en .α{\ Displaystyle \ alpha}β<α{\ Displaystyle \ beta <\ alpha}stupag(VS∩β)=β{\ Displaystyle sup (C \ cap \ beta) = \ beta}β∈VS{\ Displaystyle \ beta \ en C}β{\ Displaystyle \ beta}VS{\ Displaystyle C}β{\ Displaystyle \ beta}VS{\ Displaystyle C}
• VS{\ Displaystyle C}es ilimitado, es decir, para todo , existe tal que .β<α{\ Displaystyle \ beta <\ alpha}γ∈VS{\ Displaystyle \ gamma \ en C}β<γ{\ Displaystyle \ beta <\ gamma}

He aquí algunos ejemplos :

• Si es una función normal, es decir continua y estrictamente creciente , y si no es de co - finalidad contable, entonces el conjunto de puntos fijos de es un club.F:α→α{\ Displaystyle f: \ alpha \ rightarrow \ alpha}α{\ Displaystyle \ alpha}F{\ Displaystyle f}
• Si es una función normal, entonces su imagen es un club.F:α→α{\ Displaystyle f: \ alpha \ rightarrow \ alpha}
• α{\ Displaystyle \ alpha}es un cardenal límite si y solo si el conjunto de cardenales es estrictamente menor que un club en .α{\ Displaystyle \ alpha}α{\ Displaystyle \ alpha}
• el conjunto de ordinales de límite contables es un club en .ω1{\ Displaystyle \ omega _ {1}}

Podemos definir de la misma forma ser un club para una clase de gente corriente.

El filtro del club

Cualquiera de los límites ordinales de cofinalidad es incontable . Si y si es una serie de clubes, entonces se puede demostrar que sigue siendo un club. α{\ Displaystyle \ alpha}λ{\ Displaystyle \ lambda}β<λ{\ Displaystyle \ beta <\ lambda}(VSI)I<β{\ Displaystyle (C_ {i}) _ {i <\ beta}}⋂I<βVSI{\ Displaystyle \ bigcap _ {i <\ beta} C_ {i}}

En particular, si es un cardenal regular , entonces todas las partes que contienen un club son un filtro -completo sobre no primario , llamado filtro Club . Este filtro también está cerrado por intersección diagonal, es decir, si es una serie de palos, entonces la intersección diagonal sigue siendo un palo. κ{\ Displaystyle \ kappa}κ{\ Displaystyle \ kappa} κ{\ Displaystyle \ kappa}κ{\ Displaystyle \ kappa}(VSI)I<κ{\ Displaystyle (C_ {i}) _ {i <\ kappa}}ΔI<κVSI={β<κ|β∈⋂I<βVSI}{\ Displaystyle \ Delta _ {i <\ kappa} C_ {i} = \ {\ beta <\ kappa | \ beta \ in \ bigcap _ {i <\ beta} C_ {i} \}}

Por el contrario, un filtro en el que es -completo, no principal y cerrado por intersección diagonal necesariamente contiene todos los clubes. κ{\ Displaystyle \ kappa}κ{\ Displaystyle \ kappa}

Como los conjuntos de palos generan un filtro, podemos decir informalmente que una parte que contiene un palo es una parte grande , en analogía con el filtro de las partes de medida 1 de un espacio de probabilidad . Asimismo, una parte contenida en el complementario de un club es una parte pequeña . Una parte que no es pequeña , es decir, una parte cuya intersección con cada palo no está vacía, se llama conjunto estacionario  (in) .

Bibliografía fuente

• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ( ISBN  3-540-44085-2 )
• Kenneth Kunen , 2011. Teoría de conjuntos . Publicaciones universitarias. ( ISBN  978-1-84890-050-9 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">