Co-finalidad
Considere un conjunto A dotado de una relación binaria ≤. Se dice que un subconjunto B de A es cofinal si:
para cualquier elemento a de A, existe un elemento b de B tal que a ≤ b ;
∀ un ∈ A, ∃ b ∈ B \ un ≤ b .
La cofinalidad del conjunto A es la cardinalidad del subconjunto cofinal más pequeño de A.
La co - finalidad de un ordinal límite es el ordinal más pequeño de modo que hay una función no mapeada. Este ordinal generalmente se anota o .
α{\ Displaystyle \ alpha}β{\ Displaystyle \ beta}F:β→α{\ Displaystyle f: \ beta \ rightarrow \ alpha}cof(α){\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}cf(α){\ Displaystyle \ operatorname {cf} (\ alpha)}
Intuitivamente, es el menor número de pasos a seguir para llegar al final .
cof(α){\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}α{\ Displaystyle \ alpha}
Por ejemplo, podemos ir al final de en pasos, con la función identidad, pero no podemos ir al final de en un número finito de pasos. Así que tenemos .
ℵ0{\ Displaystyle \ aleph _ {0}}ℵ0{\ Displaystyle \ aleph _ {0}}ℵ0{\ Displaystyle \ aleph _ {0}}cof(ℵ0)=ℵ0{\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {0}) = \ aleph _ {0}}
Un cardenal que es igual a su cofinalidad, como aquí , se llama cardenal regular .
ℵ0{\ Displaystyle \ aleph _ {0}}
Del mismo modo, podemos ir detrás de ella, pero no podemos hacerlo en un número contable de pasos. Así que tenemos ; quien, por lo tanto, también es un cardenal regular.
ℵ1{\ Displaystyle \ aleph _ {1}}ℵ1{\ Displaystyle \ aleph _ {1}}vsoF(ℵ1)=ℵ1{\ Displaystyle cof (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}
Por otro lado, podemos ir al final por pasos, con la función definida por , por lo tanto .
ℵω{\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega}}ℵ0{\ Displaystyle \ aleph _ {0}}F:ℵ0→ℵω{\ Displaystyle f: \ aleph _ {0} \ rightarrow \ aleph _ {\ omega}}F(no)=ℵno{\ Displaystyle f (n) = \ aleph _ {n}}vsoF(ℵω)=ℵ0{\ Displaystyle cof (\ aleph _ {\ omega}) = \ aleph _ {0}}
Un cardenal que no es regular, es decir, que no es igual a su cofinalidad, como aquí se llama cardenal singular .
ℵω{\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega}}
Propiedades
Para cualquier ordinal límite , tenemos las siguientes propiedades:
α{\ Displaystyle \ alpha}
-
cof(α){\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)} existe ;
-
cof(α){\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}es un cardenal ;
-
cof(α){\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}es regular, en otras palabras ;cof(cof(α))=cof(α){\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ operatorname {cof} (\ alpha)) = \ operatorname {cof} (\ alpha)}
- Si y luego está acotado;X⊂α{\ Displaystyle \ mathrm {X} \ subconjunto \ alpha}|X|<cof(α){\ Displaystyle | \ mathrm {X} | <\ operatorname {cof} (\ alpha)}X{\ Displaystyle \ mathrm {X}}
- si es un ordinal límite, entonces ; por ejemplo ,.β{\ Displaystyle \ beta}cof(ℵβ)=cof(β){\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ beta}) = \ operatorname {cof} (\ beta)}cof(ℵℵ1)=cof(ℵ1)=ℵ1{\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ aleph _ {1}}) = \ operatorname {cof} (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}
Para cualquier cardinal infinito , tenemos las siguientes propiedades:
κ{\ Displaystyle \ kappa}
-
κ<κcof(κ){\ Displaystyle \ kappa <\ kappa ^ {\ operatorname {cof} (\ kappa)}}, es una consecuencia del teorema de König ;
- para cualquier cardinal , ; porque y obtenemos , por lo tanto, tenemos en particular ; esto también es una consecuencia del teorema de König.λ{\ Displaystyle \ lambda}cof(λκ)>κ{\ Displaystyle \ operatorname {cof} (\ lambda ^ {\ kappa})> \ kappa}λ=2{\ Displaystyle \ lambda = 2}κ=ℵ0{\ Displaystyle \ kappa = \ aleph _ {0}}cof(2ℵ0)>ℵ0{\ Displaystyle \ operatorname {cof} (2 ^ {\ aleph _ {0}})> \ aleph _ {0}}2ℵ0≠ℵω{\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ neq \ aleph _ {\ omega}}
La cofinalidad de los cardenales permite resaltar ciertas diferencias de comportamiento. Por ejemplo, vis-à-vis la exponenciación cardinal, William B. Easton (en) esencialmente demostró que, para los cardinales regulares, las únicas restricciones demostrables en la función son y . Para los cardenales singulares, la situación es diferente. En particular, Jack Silver (en) demostró que si es singular y de incontable co-finalidad, y si para todo , entonces .
ZFVS{\ Displaystyle \ mathrm {ZFC}}F(κ)=2κ{\ Displaystyle f (\ kappa) = 2 ^ {\ kappa}}κ≤λ⇒F(κ)≤F(λ){\ Displaystyle \ kappa \ leq \ lambda \ Rightarrow f (\ kappa) \ leq f (\ lambda)}cof(F(κ))>κ{\ Displaystyle \ operatorname {cof} (f (\ kappa))> \ kappa} κ{\ Displaystyle \ kappa}λ<κ{\ Displaystyle \ lambda <\ kappa}2λ=λ+{\ Displaystyle 2 ^ {\ lambda} = \ lambda ^ {+}}2κ=κ+{\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+}}
Generalizaciones
Podemos generalizar la noción de cofinalidad a cualquier conjunto preordenado : si es un conjunto preordenado, la cofinalidad de es el cardinal más pequeño de una parte cofinal en , es decir, tal que para todo existe tal que .
(A,≤){\ Displaystyle (A, \ leq)}A{\ Displaystyle \ mathrm {A}}B{\ Displaystyle \ mathrm {B}}A{\ Displaystyle \ mathrm {A}}a∈A{\ Displaystyle a \ in \ mathrm {A}}B∈B{\ Displaystyle b \ in \ mathrm {B}}a≤B{\ Displaystyle a \ leq b}
Por ejemplo, si es el conjunto de funciones de en sí mismo dotado con el preorden definido por if y solo si para cualquier número entero de un cierto rango, entonces la cofinalidad de este preorden, generalmente anotado y llamado número dominante ( inglés : dominating number ) , es un cardinal entre y , pero su valor exacto no puede determinarse en el axiomático habitual de la teoría de conjuntos, ZFC .
A{\ Displaystyle \ mathrm {A}}ω{\ Displaystyle \ omega}≤∗{\ Displaystyle \ leq ^ {*}}F≤∗gramo{\ Displaystyle f \ leq ^ {*} g}F(no)≤gramo(no){\ Displaystyle f (n) \ leq g (n)}no{\ Displaystyle n}D{\ Displaystyle {\ mathfrak {d}}}ℵ1{\ Displaystyle \ aleph _ {1}}2ℵ0{\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}
La teoría CPF (en) introducida por Saharon Shelah , estudiando posibles cofinalités de ultraproductos algunos de conjuntos ordenados. Esto le permitió demostrar nuevas desigualdades en la exponenciación cardinal, como por ejemplo ,.
ℵωℵ0≤2ℵ0+ℵω4{\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega} ^ {\ aleph _ {0}} \ leq 2 ^ {\ aleph _ {0}} + \ aleph _ {\ omega _ {4}}}
Referencias
-
MyiLibrary ( servicio en línea) , teoría de conjuntos , Springer ( ISBN 978-3-540-44085-7 y 3-540-44085-2 , OCLC 757105116 , leer en línea )
-
(en) William Bigelow Easton, " Poderes de los cardenales regulares " , Annals Of Mathematical Logic , vol. 1, n o 21970, p. 139-178 ( leer en línea )
-
(in) Jack Silver, " Sobre el problema de los cardenales singulares " , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos , vol. 1,1975(265-268)
-
Shelah Saharon , Cardinal aritmética , Clarendon Press,1 st de enero de de 2002, 481 p. ( ISBN 978-0-19-853785-4 , OCLC 909512480 , leer en línea )
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