Diagrama conmutativo
En matemáticas , y más especialmente en aplicaciones de la teoría de categorías , un diagrama conmutativo es un diagrama de objetos y morfismos tal que, si seguimos un camino a través del diagrama de un objeto a otro, el resultado por composición de morfismos solo depende del inicio objeto y el objeto final.
Por ejemplo, el primer teorema del isomorfismo es un triángulo conmutativo de la siguiente manera:
Dado que f = h ∘ φ , el diagrama de la izquierda es conmutativo; y como φ = k ∘ f , es lo mismo para el diagrama de la derecha.
En el diagrama de la izquierda, es posible pasar de G a im f por dos caminos diferentes: directamente gracias al mapa f , o bien mediante la composición de los mapas h y φ . De manera similar, el diagrama de la derecha es conmutativo, ya que puede mover G a G / ker f directamente mediante la aplicación φ , o mediante la composición k al pasar f a través del objeto im f .
Asimismo, el cuadrado anterior es conmutativo si y ∘ w = z ∘ x .
Comprobando la conmutatividad
La conmutatividad se entiende fácilmente para un polígono con un número finito de lados (incluidos solo 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si cualquier subdiagrama poligonal es conmutativo.
Ver también
- Lema de los cinco
- Lema nueve (en)
- Serpiente Lemma
- Lema en zigzag ( pulg )