Cuerpo de descomposición

En matemáticas y más precisamente en álgebra en la teoría de campos conmutativos , un campo de descomposición , o en ocasiones un campo raíz o incluso un campo de despliegue , de un polinomio P distinto de cero es una extensión de campo mínima en la que P se divide . Demostramos que un polinomio distinto de cero siempre tiene un cuerpo de descomposición, único hasta el isomorfismo, y que esta es una extensión finita y normal .

Si además el polinomio es separable , es una extensión de Galois . La teoría de Galois se aplica entonces, en particular, el teorema del elemento primitivo y el teorema fundamental de la teoría de Galois .

Definición

Dado un campo conmutativo K y un polinomio P distinto de cero con coeficientes en K , un campo de descomposición de P sobre K es una extensión L de K tal que:

• P se divide sobre L , es decir, producto de polinomios de primer grado en L [ X ];
• las raíces de P en L generan L sobre K , es decir que no hay ningún otro subcampo de L que en sí misma contiene K y las raíces de P .

En un cierre algebraico dado Ω, existe una sub-extensión única de Ω que también es un campo de descomposición de P  : es la sub-extensión de Ω generada por las raíces de P en Ω. En general, cualquier campo de descomposición de P es isomorfo a este subcampo de Ω.

Propuesta. - Cualquier polinomio P distinto de cero de K [ X ] tiene un campo de descomposición, único hasta el isomorfismo. Esta es una extensión finita de K, y es una sub-extensión de cualquier extensión en la que P está dividido.

La existencia y la unicidad hasta el isomorfismo se pueden demostrar directamente (sin asumir, como antes, la existencia y la unicidad hasta el isomorfismo cerca de un cierre algebraico).

• Existencia de un cuerpo de descomposición L de grado finito:
  se demuestra por inducción sobre el grado del polinomio P , iterando la construcción de cuerpos de fractura .
  En efecto, si P es una constante o nivel 1, K es un cuerpo descomposición P . Si P es de mayor grado, entonces
  • sea P tiene un factor de grado 1, P = ( X - α) Q , y un campo de descomposición de Q , que existe por hipótesis de inducción, es un campo de descomposición de P  ;
  • ya sea P tiene un factor de irreducible de grado> 1; entonces tiene un factor de grado 1 en un campo de fractura de este factor irreducible, es decir, K 'que contiene K , y concluimos por hipótesis de inducción como en el caso anterior.
• L es una sub-extensión de cualquier extensión en la que P está dividido:
  lo mostramos por inducción en el grado [ L : K ] de la Extensión (finita!), Usando eso para un polinomio irreducible Q ( X ), el cuerpo de ruptura es isomorfo a K [ X ] / ( Q ( X )). Para la inducción, generalizamos la propiedad de demostrar. Sean K y K ' dos campos isomorfos por φ, P polinomio sobre K , y φ ( P ), su imagen por el isomorfismo inducido (que también denotamos por φ). Sea L ' una extensión de K' sobre la cual φ ( P ) se divide. Demostraremos, por inducción en el grado [ L : K ], que φ se extiende a un morfismo inyectivo de L a L ' .
  • El resultado es obvio si este grado es igual a 1.
  • De lo contrario, es porque P tiene un factor Q irreducible de grado> 1, que por lo tanto tiene una raíz α en L cuya imagen φ (α) es la raíz de φ ( Q ) en L '  ; K [α] es un cuerpo de fractura de Q sobre K al igual que K ' [φ (α)] es un cuerpo de fractura de φ ( Q ), irreductible en K' . Los campos K [α] y K ' [φ (α)] son, por tanto, isomorfos (porque isomorfos a los dos campos isomorfos K [ X ] / ( Q ) y K' [ X ] (φ ( Q ))) por ψ que extiende φ. Ahora L es un campo de descomposición de P sobre K [α] y L ' es una extensión de K' [φ (α)] sobre el cual φ ( P ) se divide. El grado [ L : K [α]] es estrictamente menor que [ L : K ] (porque [ L : K ] = [ L : K [α]] [ K [α]: K ] y [ K [α]: K ] es el grado de Q que es> 1). Por hipótesis de inducción, ψ se extiende a un morfismo inyectivo de L a L ' , que por lo tanto se extiende a φ.
• Cualquier cuerpo de descomposición de P es isomorfo a L:
  Sea L ' otro cuerpo de descomposición. Según el punto anterior, se trata de una sobreextensión de L , es decir que existe un K -morfismo θ inyectivo de L a L ' . Además, dado que P se divide sobre L , todas las raíces de P en L ' pertenecen a la imagen de θ (porque son las imágenes de las raíces de P en L ), de modo que esta imagen es un número entero L' y que θ es un isomorfismo.

Nótese que una extensión de un campo K puede contener solo un campo de descomposición de un polinomio P sobre K , mientras que puede contener varios campos de rupturas (isomórficas entre ellos) de este.

Ejemplos de

El campo de descomposición del polinomio X 2 + 1 sobre el campo de los números reales es el campo de los complejos .

El polinomio P ( X ) = X 3 - 2 es irreductible en el campo ℚ de los números racionales (de hecho, cualquier polinomio de grado 3 que no sea irreducible tiene una raíz racional). Sea r la raíz cúbica real de 2 y j una de las dos raíces cúbicas primitivas (complejas) de la unidad . Las otras dos raíces de P son j r y j 2 r . El campo de descomposición de P sobre ℚ es L = ℚ ( r , j r , j 2 r ).

El cuerpo de descomposición de P se puede construir como en la prueba de existencia anterior.

Considere la extensión K 1 igual a ℚ ( r ), es decir, la extensión generada por r . Dado que P es irreducible , es un campo de fractura de P , isomorfo a ℚ [ X ] / ( P ), cuya base es (1, r , r 2 ).

En K 1 , el polinomio P tiene una raíz r . Una división de P ( X ) por el polinomio X - r da la igualdad:

PAG(X)=(X-r)(X2+rX+r2)=(X-r)(X+(1/2+s)r)(X+(1/2-s)r) con s=32I.{\ Displaystyle P (X) = (Xr) (X ^ {2} + rX + r ^ {2}) = (Xr) (X + (1/2 + s) r) (X + (1 / 2- s) r) {\ mbox {con}} s = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {i}.}

Deducimos que L es igual a K 1 ( s ) que es una extensión del grado 2 de K 1 y cuya base es {1, s }.

Tenemos igualdad en los grados [ L : ℚ] = [ L : K 1 ] [ K 1 : ℚ] = 3 × 2 = 6 ( cf. Definiciones y primeras propiedades de las extensiones algebraicas ). Deducimos que una base de L en ℚ es {1, r, r 2 , s, rs, r 2 s }.

Extensión de Galois

• El campo de descomposición de un polinomio separable, obtenido sumando un número finito de elementos separables, es una extensión separable finita del campo base. Se aplica el teorema del elemento primitivo : la extensión es simple .
• Cualquier cuerpo de descomposición es una extensión normal . De hecho, sean r 1 ,…, r n las raíces de P en Ω. Entonces L es igual a K ( r 1 ,…, r n ). Cualquier morfismo de L a Ω permuta las raíces, por lo que deja a L estable . Si P es separable, la extensión es Galois .
• Suponemos que el polinomio P es separable. El grupo de Galois del campo de descomposición de P opera transitivamente sobre el conjunto R de las raíces de P si, y solo si, el polinomio P es irreducible.

De hecho, si P no es irreducible, es el producto de dos polinomios P 1 y P 2 de grados estrictamente positivos. el conjunto de raíces de P 1 es disjunto del conjunto de raíces de P 2 porque P es separable. La imagen por un morfismo, elemento del grupo de Galois, de una raíz de P 1 es necesariamente una raíz de este polinomio, por lo tanto no puede ser una raíz de P 2 , lo que prueba que el grupo no opera transitivamente. Por el contrario, si P es irreducible, α y β son dos raíces de P . Sea m el morfismo de K (α), en K (β) que a α asocia β. La propiedad general demostrada anteriormente (por inducción, en la prueba de la proposición) muestra que el morfismo del campo m se extiende a un automorfismo σ del campo de descomposición. Por tanto, existe un elemento σ del grupo de Galois tal que σ (α) = β, lo que muestra que el grupo opera transitivamente.

Notas y referencias

1. Alain Kraus, "  Teoría de Galois: curso intensivo de la DEA  " , Universidad de París 6 ,1998.
2. O "cuerpo raíz"  : Henri Lombardi y Claude Quitté, Álgebra conmutativa - Métodos constructivos - Módulos proyectivos de tipo finito , Calvage & Mounet,2016( 1 st  ed. 2011) ( arXiv  1611.02942 , presentación en línea ) , p.  117.
3. A.-M. Simon, "  Bac 2 curso de matemáticas: un primer contacto con la teoría de números  " , en ULB ,2010, p.  99, prefiere la terminología: "cuerpo de despliegue", pero señala que "algunos autores [lo llaman]" cuerpo de ruptura "( splitting field en inglés) o incluso" cuerpo de raíces ", siendo este apellido un poco ambiguo . " El término" fuerza de ruptura "no es menos importante como se explica en el artículo sobre elevación del cuerpo . En inglés, no hay malentendidos: el campo dividido es de hecho el cuerpo de descomposición.
4. Daniel Perrin , Cours d'Algèbre [ detalle de las ediciones ], 1981, c. III 7.
5. Esta propiedad aparece por ejemplo en: Régine y Adrien Douady , Algèbre et theories galoisiennes [ detalle de las ediciones ], 2005, pág.  307 .

Bibliografía

• Henri Lombardi y Claude Quitté, Álgebra conmutativa - Métodos constructivos - Módulos proyectivos de tipo finito , Calvage & Mounet,2016( 1 st  ed. 2011) ( arXiv  1611.02942 , presentación en línea ) , p.  105-108 y 433-444 : "El álgebra de la descomposición universal"
• Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ]
• Pierre Samuel , Teoría algebraica de números [ detalle de la edición ]