Finalización de una medida

En matemáticas , se dice que una medida $μ$ está completa cuando cualquier conjunto insignificante para esta medida pertenece a la tribu en la que se define $μ$ .

Cuando una medición no está completa, existe un proceso bastante simple para completar la medición , es decir, construir una medición completa estrechamente relacionada con la medición inicial. Así, la medida de Lebesgue (considerada como una medida sobre la tribu de Lebesgue ) es la finalización de la medida a veces llamada “medida de Borel-Lebesgue”, es decir, su restricción a la tribu de Borelia .

El método utilizado por Lebesgue para construir la medida a la que fue nombrado, a saber, el uso juicioso de una medida externa , se puede aplicar a una medida σ-finita abstracta y proporciona otro método para producir su finalización.

Medida completa

Definición : dado un espacio medido , decimos que $μ$ es una medida completa cuando cualquier conjunto insignificante de $μ$ pertenece a la tribu . $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {A}}$

Dicho de manera más formal, $μ$ está completo cuando:

{\ Displaystyle \ forall M, \, N \ in {\ mathcal {P}} (X) \ quad \ left (N \ subset M, \, M \ in {\ mathcal {A}} {\ hbox {y} } \ mu (M) = 0 \ right) \ Rightarrow N \ in {\ mathcal {A}}.}

Finalización de una medida

Definición de la medida completada

Para un espacio medido, notamos $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '= \ {A \ bigtriangleup N \, \ mid \, A \ in {\ mathcal {A}}, \ N \ {\ hbox {parte insignificante de }} \ X \}}

donde denota la diferencia simétrica . ${\ Displaystyle \ bigtriangleup}$

Como recuerda la notación, esta extensión tribal depende de . Una parte es solo insignificante en relación con una medida determinada. ${\ mathcal {A}}$ $\ mu$

Teorema : sea un espacio medido y la extensión de lo descrito anteriormente. Entonces : $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ ${\ mathcal {A}}$

${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ es una tribu en ; $X$
si posamos por y despreciable, esto constituye una definición coherente y hemos construido así una medida sobre el espacio medible ; ${\ Displaystyle \ mu '(A \ bigtriangleup N) = \ mu (A)}$ $A \ in {\ mathcal {A}}$ $NO$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$
esta medida es una medida de ampliación integral ; $\ mu '$ $\ mu$
$\ mu '$ es mínimo en el siguiente sentido: cualquier medida completa que se extiende también prolonga . $\ mu$ $\ mu '$

La medida construida arriba se llama la medida completa de , la tribu se llama tribu completa de relativamente a . $\ mu '$ $\ mu$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ ${\ mathcal {A}}$ $\ mu$

Ejemplos: medida y finalización de Lebesgue

En , la tribu Lebesgue es el complemento de la tribu Boreliana para la medida Lebesgue (restringida a los borelianos). Dependiendo del punto de vista adoptado, puede ser la definición de la tribu Lebesgue o un teorema de prueba moderadamente consistente ; en esta segunda hipótesis, la definición de la medida de Lebesgue se basaba en una construcción de medida externa y las ideas de la demostración son aproximadamente las mismas que las utilizadas para probar el teorema más general que aparece a continuación en la sección "Medida completa y medida externa". $\ mathbb {R} ^ {n}$
Nótese la medida de Lebesgue en , definida en la tribu Lebesgue. Si trabajamos en una teoría de conjuntos que garantice la existencia de conjuntos no medibles en el sentido de Lebesgue (típicamente con el axioma de elección ), el producto no es una medida completa. De hecho, si $A$ es un conjunto no medible, $A$ $\times {0}$ no pertenece a la tribu del producto aunque sea insignificante para la medida del producto. La medida de Lebesgue sobre no es, por tanto, igual a sino sólo su complemento. $\ lambda$ $\ mathbb {R}$ $\ lambda \ otimes \ lambda$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $\ lambda \ otimes \ lambda$

Propiedades de la medida completada

Variantes en las definiciones

Las siguientes variaciones son fáciles de probar, incluso obvias para algunos:

Variantes en la definición de la tribu completa. Con las notaciones de la sección anterior,

los elementos de la tribu completa se caracterizan por: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '= \ {A \ bigtriangleup N \, \ mid \, A \ in {\ mathcal {A}}, \ N {\ hbox {parte insignificante de} } X \}}$ .
también tenemos :

{\ Displaystyle B \ in {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '\ iff \ existe A_ {1}, A_ {2} \ in {\ mathcal {A}} \ quad (A_ {1} \ subset B \ subconjunto A_ {2} \ {\ hbox {et}} \ \ mu (A_ {2} \ setminus A_ {1}) = 0)}

. Variante en la definición de la medida completada. Siempre con las mismas notaciones podemos escribir, para

B

en la tribu completa:

{\ Displaystyle \ mu '(B) = \ sup _ {{A \ in {\ mathcal {A}}} \ sobre {A \ subconjunto B}} \ mu (A).}

Permanencia de clases de funciones medibles

El resultado a continuación muestra que, aunque obviamente hay funciones de valor real más mensurables comenzando desde que comenzando desde , las clases de equivalencia para la igualdad en casi todas partes (y por lo tanto los espacios $L$ $p$ ) son las mismas. $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$ $(X, {\ mathcal {A}})$

Proposición - Sea un espacio medido del cual denotamos la completitud. Para cualquier función $f$ con valores reales medibles a partir de , existe una función que es casi en todas partes igual a ella y que es medible a partir de . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ', \ mu')$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$ ${\ tilde f}$ $(X, {\ mathcal {A}})$

Si $f$ es positivo o cero, podemos construir verificando: ${\ tilde f}$

{\ Displaystyle 0 \ leq {\ tilde {f}} \ leq f.}

Medición completa y medición externa

Dado un espacio medido , podemos definir en una medida externa $μ$ $*$ mediante la fórmula: $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {P}} (X)$

{\ Displaystyle \ mu ^ {*} (B) = \ inf \ left \ {\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ mu (A_ {n}) \, \ mid \, A_ {n } \ in {\ mathcal {A}}, \, B \ subconjunto \ bigcup _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ right \}.}

Luego definimos los conjuntos medibles para $μ *$ como las partes $B$ de $X$ que satisfacen la propiedad:

{\ Displaystyle \ forall E \ subconjunto X \ quad \ mu ^ {*} (E \ cap B) + \ mu ^ {*} (E \ setminus B) = \ mu ^ {*} (E).}

Luego denotamos el conjunto de partes medibles para $μ$ $*$ . Resulta que es una tribu que se extiende , y que la restricción de $μ$ $*$ a esta tribu es una medida, que extiende $μ$ . ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ mathcal {A}}$

Dadas estas notaciones y recordatorios, podemos enunciar el siguiente teorema:

Teorema : con las notaciones anteriores, la restricción de $μ *$ a es una medida completa. Si la medida $μ$ es σ-finita , esta medida completa coincide con la finalización de $μ$ . ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$

La prueba se basa en el siguiente lema sencillo:

Lema : con las notaciones anteriores, para cualquier conjunto $B$ medible $μ *$ , existe un contenedor $B$ y para el cual $A \ in {\ mathcal {A}}$

{\ Displaystyle \ mu ^ {*} (B) = \ mu (A).}

Parte $A$ se denomina cobertura medible de $B$ .

Cuando $μ$ no es σ-finito , la tribu puede ser más grande que la tribu completa. Por lo tanto, para un conjunto $X que$ tiene al menos dos elementos, si consideramos y $μ$ la medida en esta tribu vale $+ \infty$ en $X$ , la medida $μ$ ya está completa mientras que la extensión por medida externa es una extensión al todo. ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {\ varnothing, X \}}$ ${\ mathcal {P}} (X)$

Referencias

Marc Briane y Gilles Pagès, Teoría de la integración , París, Vuibert, coll. "Los grandes cursos de Vuibert",Octubre de 2000, 302 p. ( ISBN 2-7117-8946-2 ) , pág. 255.
Briane y Pagès 2000 , p. 255. La minimidad, por lo demás obvia, es mencionada explícitamente por (en) Herbert Amann y Joachim Escher, Analysis III , Springer,2009, 468 p. ( ISBN 978-3-7643-7479-2 , leer en línea ) , pág. 21.
Véase, por ejemplo, Briane y Pagès 2000 , p. 257.
Por ejemplo, ver (en) Donald L. Cohn, Measure Theory , Springer,2013( 1 st ed. 1980 Birkhäuser), 373 p. ( ISBN 978-1-4899-0399-0 , leer en línea ) , pág. 37-38 - la prueba cubre aproximadamente una página.
Briane y Pagès 2000 , p. 263-264.
(in) Gearoid Barra, Teoría e integración de la medida , New Age International,2008, 239 p. ( ISBN 978-0-85226-186-6 , leer en línea ) , pág. 101.
Cohn 2013 , p. 36.
Briane y Pagès 2000 , p. 265.
(en) Richard Dudley (en) , Análisis Real y Probabilidad , Cambridge University Press,2002, 555 p. ( ISBN 978-0-521-00754-2 , leer en línea ) , pág. 103.